Cześć! Mam problem z takim zadaniem:
Dla jakich wartości parametru a wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+4x^3+10x^2+12x+a}\) jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego?
Proszę o dokładne wytłumaczenie kolejnych kroków rozwiązywania, gdyby w razie czego psor pytał o sposób rozwiązania
Z góry dziękuję.
Zadanie z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 1420
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 411 razy
Zadanie z parametrem
zapiszmy szukany wielomian jako \(\displaystyle{ x^{2}+bx+c}\) podnosimy go do kwadratu i porównujemy współczynniki, wychodzą nam układy równań i porównujemy odpowiednie współczynniki przy odpowiednich potegach X
- escargot
- Użytkownik
- Posty: 477
- Rejestracja: 30 paź 2007, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°N, 21°E
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 143 razy
Zadanie z parametrem
to zadanie można rozwiązać też takim sposobem, choć osobiście rozwiazywałbym go sposobem podanym przez robert9000
Należy odpowiednio pogrupować wyrazy, tak by otrzymać trójmian kwadratowy podniesiony do kwadratu, a cała otzrzymana reszta musi byćwtedy równa zero aby ten wielomian był rzeczywiście kwadratem trójmianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{4}+4x^{3}+4x^{2})+6x^{2}+12x+a}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x)^{2}+6(x^{2}+2x)+a}\)
Teraz grupujemy wyrazy tak, aby mozna było jego część zwińąć do kwadratu pewnego trójmianu,(skoro dodaliśmy 9 to musimy od razu go odjąć aby zachować równoważny wielomian):
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x)^{2}+6(x^{2}+2x)+9+a-9}\)
\(\displaystyle{ W(x)=[(x^{2}+2x)+3]^{2}+a-9}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x+3)^{2}+a-9}\)
Obliczamy wartość parametru a:
\(\displaystyle{ a-9=0}\)
\(\displaystyle{ a=9}\)[/b]
Należy odpowiednio pogrupować wyrazy, tak by otrzymać trójmian kwadratowy podniesiony do kwadratu, a cała otzrzymana reszta musi byćwtedy równa zero aby ten wielomian był rzeczywiście kwadratem trójmianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{4}+4x^{3}+4x^{2})+6x^{2}+12x+a}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x)^{2}+6(x^{2}+2x)+a}\)
Teraz grupujemy wyrazy tak, aby mozna było jego część zwińąć do kwadratu pewnego trójmianu,(skoro dodaliśmy 9 to musimy od razu go odjąć aby zachować równoważny wielomian):
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x)^{2}+6(x^{2}+2x)+9+a-9}\)
\(\displaystyle{ W(x)=[(x^{2}+2x)+3]^{2}+a-9}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x+3)^{2}+a-9}\)
Obliczamy wartość parametru a:
\(\displaystyle{ a-9=0}\)
\(\displaystyle{ a=9}\)[/b]
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Zadanie z parametrem
\(\displaystyle{ (x^2+bx+c)^2 =}\)
tylko same współczynniki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccccc}
& & 1 & b & c \\
& & 1 & b & c \\ \hline
& & c & bc & c^2 \\
& b & b^2 & bc & \\
1 & b & c & & \\ \hline
1 & 2b & b^2+2c & 2bc & c^2
\end{array}}\)
\(\displaystyle{ 2b=4 \iff b=2}\)
\(\displaystyle{ b^2+2c=10 \iff 2c=6 \iff c=3}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot2\cdot3=12}\) OK
\(\displaystyle{ 3^2=a \iff a=9}\)
tylko same współczynniki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccccc}
& & 1 & b & c \\
& & 1 & b & c \\ \hline
& & c & bc & c^2 \\
& b & b^2 & bc & \\
1 & b & c & & \\ \hline
1 & 2b & b^2+2c & 2bc & c^2
\end{array}}\)
\(\displaystyle{ 2b=4 \iff b=2}\)
\(\displaystyle{ b^2+2c=10 \iff 2c=6 \iff c=3}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot2\cdot3=12}\) OK
\(\displaystyle{ 3^2=a \iff a=9}\)