Zadanie z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
kar0205
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 gru 2007, o 11:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Domaradz
Podziękował: 3 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: kar0205 »

Cześć! Mam problem z takim zadaniem:

Dla jakich wartości parametru a wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+4x^3+10x^2+12x+a}\) jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego?

Proszę o dokładne wytłumaczenie kolejnych kroków rozwiązywania, gdyby w razie czego psor pytał o sposób rozwiązania

Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 24 sty 2008, o 18:07 przez kar0205, łącznie zmieniany 1 raz.
robert9000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1420
Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 411 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: robert9000 »

zapiszmy szukany wielomian jako \(\displaystyle{ x^{2}+bx+c}\) podnosimy go do kwadratu i porównujemy współczynniki, wychodzą nam układy równań i porównujemy odpowiednie współczynniki przy odpowiednich potegach X
Awatar użytkownika
escargot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 477
Rejestracja: 30 paź 2007, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°N, 21°E
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 143 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: escargot »

to zadanie można rozwiązać też takim sposobem, choć osobiście rozwiazywałbym go sposobem podanym przez robert9000

Należy odpowiednio pogrupować wyrazy, tak by otrzymać trójmian kwadratowy podniesiony do kwadratu, a cała otzrzymana reszta musi byćwtedy równa zero aby ten wielomian był rzeczywiście kwadratem trójmianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{4}+4x^{3}+4x^{2})+6x^{2}+12x+a}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x)^{2}+6(x^{2}+2x)+a}\)
Teraz grupujemy wyrazy tak, aby mozna było jego część zwińąć do kwadratu pewnego trójmianu,(skoro dodaliśmy 9 to musimy od razu go odjąć aby zachować równoważny wielomian):
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x)^{2}+6(x^{2}+2x)+9+a-9}\)
\(\displaystyle{ W(x)=[(x^{2}+2x)+3]^{2}+a-9}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+2x+3)^{2}+a-9}\)
Obliczamy wartość parametru a:
\(\displaystyle{ a-9=0}\)
\(\displaystyle{ a=9}\)[/b]
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: Szemek »

\(\displaystyle{ (x^2+bx+c)^2 =}\)
tylko same współczynniki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccccc}
& & 1 & b & c \\
& & 1 & b & c \\ \hline
& & c & bc & c^2 \\
& b & b^2 & bc & \\
1 & b & c & & \\ \hline
1 & 2b & b^2+2c & 2bc & c^2
\end{array}}\)


\(\displaystyle{ 2b=4 \iff b=2}\)
\(\displaystyle{ b^2+2c=10 \iff 2c=6 \iff c=3}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot2\cdot3=12}\) OK
\(\displaystyle{ 3^2=a \iff a=9}\)
kar0205
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 gru 2007, o 11:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Domaradz
Podziękował: 3 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: kar0205 »

już teraz kumam:) Dzięki wielkie
ODPOWIEDZ