(3 zadania) Wyznacz a,b. Wykaż podzielność. Parametr.

[basia]

1)dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ 3x^3+mx^2-4x+2}\) przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) otrzymamy resztę równą \(\displaystyle{ 6}\)?

2)wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) tak, aby wielomian \(\displaystyle{ x^4-3x^3+6x^2+ax+b}\) był podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-1}\)

3)wykazać, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{ N}}\) wielomian \(\displaystyle{ (x-2)^{2n}+(x-1)^n-1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)}\)

[Arek]

Przez co dzielimy wielomian w (1)????

(2)

Skoro wielomian ma być podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-1}\), to jego pierwiastkami muszą być \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\), a zatem zachodzą warunki:

\(\displaystyle{ W(1)=1^4-3 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2+a \cdot 1+b=0\\
W(-1)=1^4+3 \cdot 1^3+6 \cdot 1^2-a+b=0}\)

A zatem należy rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -10=-a+b \\ -4=a+b \end{cases}}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -7=b \\ a=3 \end{cases}}\),

(3)

Skoro wielomian ma być podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)}\), to

\(\displaystyle{ W(1)=0}\) i \(\displaystyle{ W(2)=0}\)

Podstaw i z łatwością otrzymasz te warunki.

[basia]

przepraszam, przeoczyłam

[Yavien]

Zatem zadanie (1)
Skoro wielomian dawać resztę 6 przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ x - 2}\) to mamy warunek:

\(\displaystyle{ W(2)=3(2^3)+m(2^2)-4 \cdot 2 = 6}\)
A więc należy rozwiązać to równanie i mamy odpowiedź, że \(\displaystyle{ m = -3}\)

[basia]

Dziękuję Kochani