Parametr m - cztery różne rozwiąznia

[marss]

Dla jakich wartośc parametru m równanie

\(\displaystyle{ x^4-6x^2+m=0}\)

ma cztery różne rozwiąznia.

Podstawiam zmienną t. Warunek biore \(\displaystyle{ \D>0}\) Wychodzi mi przedział nom i m

[Zlodiej]

Wiesz, że t>0, zatem ze wzorów Viete,a musisz jeszcze dodać warunek, że suma tych pierwiastków jest większa od 0 oraz ich iloczyn jest większy od 0.

[marss]

Wiesz, że t>0, zatem ze wzorów Viete,a musisz jeszcze dodać warunek, że suma tych pierwiastków jest większa od 0 oraz ich iloczyn jest większy od 0.

Nierozumiem dlaczego iloczyn i suma ma być większe - możesz wyjaśnić warunek? Iloczyn i suma > 0 oznacza dwa pierwiastki oba dodatnie. Wiec dlaczego takie założenie musi być? - nie czaje

[Zlodiej]

Popatrz. Wiesz, że t>0 z założeń. Warunek delty pozwala znaleźć jakieś tam t, ale może się okazać, że t=-3, czyli sprzeczność i t=3, z tego wynika, że równanie ma tylko 2 pierwiastki: \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}\, \vee\, x=-\sqrt{3}}\). Dlatego ze wzorów Viete'a masz:

\(\displaystyle{ t_1+t_2=6\: \wedge\: t_1\cdot t_2=-m}\)

I musisz mieć pewność, że \(\displaystyle{ t_1,\, t_2}\) będą dodatnie dlatego zarówno suma tych pierwiastków jak ich iloczyn musi być dodatni. A dlaczego ? Jeśli mamy dwa pierwiastki tych samych znaków to ich iloczyn jest większy od 0. Dlatego jeśli ich iloczyn jest większy od 0 to pierwiastki te są albo dodatnie albo ujemne. Własnie po to ten kolejny warunek że suma ma być również większa od 0. Suma dwóch ujemnych pierwiastków mniejsza od 0, a suma dwóch dodatnich pierwiastkow wieksza od 0.

Mając dwa dodatnie t, można już policzyć x. \(\displaystyle{ x=\sqrt{t_1}\, \vee\, x=-\sqrt{t_1}\, \vee\, x=\sqrt{t_2}\, \vee\, x=-\sqrt{t_2}}\)