rozkład na czynniki

[kornelka90]

\(\displaystyle{ (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc}\)

[Qń]

Rozważmy funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = (xb+xc+bc)(x+b+c) - xbc}\)
Oczywiście nasze wyrażenie równe jest \(\displaystyle{ f(a)}\).
Z drugiej strona ta funkcja to trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ -b}\) i \(\displaystyle{ -c}\) (jak łatwo sprawdzić), zatem dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=k(x+b)(x+c)}\)
Z początkowej postaci funkcji łatwo zauważyć, że przy \(\displaystyle{ x^2}\) stoi \(\displaystyle{ (b+c)}\), stąd \(\displaystyle{ k=b+c}\), czyli
\(\displaystyle{ f(x)=(b+c)(x+b)(x+c)}\)
Stąd widać, że
\(\displaystyle{ f(a)=(b+c)(a+b)(a+c)}\)
więc tyle jest równe nasze wyjściowe wyrażenie.

A jak Cię przerażają takie niestandardowe rozwiązania, to można też tak:
\(\displaystyle{ (ab+bc+ca)(a+b+c) - abc!=\ = [(a+b)c+ab][(a+b) +c] - abc = \ = (a+b)^2c +(a+b)c^2 +(a+b)ab +abc - abc= \ = (a+b)(ac+bc+c^2+ab)= \ = (a+b)[(c(a+c) + b(a+c))= \ =(a+b)(a+c)(b+c)}\)

Ale pierwsze rozwiązanie ładniejsze .

Pozdrawiam.
Qń.