nierówność z wartością bezwzględną

[jackow005]

Witam wszystkich,

mam prośbę w sprawie nierówności .Oto one:

1. \(\displaystyle{ |x ^{3} +x ^{2} -5x+3|>x ^{3} +x ^{2} -5x+3}\)

2. \(\displaystyle{ |(x ^{2}+5x+6)(x ^{2} +x-2)| qslant 0}\)

[kOŁOLSKI]

Zad1. Jak widzimy strony nierówności są identyczne poza tym, że po prawej stronie mamy wartość bezwzględną co oznacza, że nie mamy tam wartości ujemnych. Logiczne więc by nierówność była spełniona prawa strona musi być ujemna. Aby to otrzymać najpierw szukamy pierwiastki tego wielomianu. Wychodzi nam coś takiego:
\(\displaystyle{ (x-1) ^{2} (x-3)}\).

Stawiamy warunek: \(\displaystyle{ (x-1) ^{2} (x-3) (- ;3) \backslash \lbrace1 \rbrace}\)

Answer

[jackow005]

Hmm.... nie bardzo czaje....a możesz napisać trak po kolei?

A co z 2?

[escargot]

Pomysł jest dobry, ale postać iloczynowa tego wielomianu to \(\displaystyle{ (x-1)^2(x+3)}\)
Stawiamy warunek:
\(\displaystyle{ (x-1)^2(x+3)}\)
I wyliczamy - wychodzi nam przedział: \(\displaystyle{ x\in(-\infty;-3)}\)

Szukając postaci iloczynowej korzystarz z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Wyznaczasz zbiór liczb wymiernych które mogą być pierwiastkami tego wielomianu. Czyli \(\displaystyle{ \frac{p}{q}\in\{-3;-1;1;3\}}\).
Teraz sprawdzasz, która z tych liczb jest pierwiastkiem i wychodzi ci , że to 1. teraz zostaje ci do rozłożenia trójmian kwadratowy więc rozbijasz go deltą.

No i to tak by było krok po kroku dalej robisz tak jak wyżej.

Jeśli chodzi o tą 2 nierówność to po prawej stronie mamy moduł, więc rozwiązanie jej jest bardzo proste.
\(\displaystyle{ \forall x\in R\quad |(x^2+5x+6)(x^2+x-2)|\geqslant 0}\)
i'm sorry za zamieszanie ja też sie niestety machnąłem przy dzieleniu;-)

[kOŁOLSKI]

escargot - nie wiem czemu ale przy dzieleniu tego wielomianu przez (x-1) wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 + x^2 + 5x + 3) & : & (x-1) = x^2 + 2x -3 \\
\underline{-x^3 + x^2} & & \\
\qquad 2x^2 - 5x +3 & & \\
\qquad \ \ \underline{-2x^2 + 2x} & &\\
\qquad \qquad \qquad -3x + 3 & & \\
\qquad \qquad \underline {3x - 3} & &\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = 0 & &
\end{array}}\)

A następnie:
\(\displaystyle{ x^2 + 2x -3}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 4}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = -3}\)
\(\displaystyle{ x_{3} = 1}\)

Przepraszam za taki kształt ale nie jestem w stanie zrobić ładniejszego dzielenia. Gdzie robię błąd?

Answer

[escargot]

skoro pierwiastkiem wielomianu jest \(\displaystyle{ -3}\), to jest on podzielny przez \(\displaystyle{ (x+3)}\)