podzielność wielomanów?

[bobek]

moze ktos mi podpowie jak sie robi tego typu zadania
mam wielomian np. : (1+x-x^2)^100
i 2 odpowiedzi:
a) przy dzieleniu przez x^2-1 daje reszte 2x+1
b) przy dzieleniu przez x^2-1 daje reszte 1
z gory dzieki za wszelkie sugestie

[Tomasz Rużycki]

Hint: Twierdzenie Bezouta.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[bobek]

no dzieki za podpowiedz
ale w przypadku gdy dziele przez jakis wielomian o stopniu >2 to co wtedy z reszta?
z tego tw wiem chyba tylko to, ze reszta ma mniejszy stopien niz dzielnik
ale jak wyznaczyc "konkretna" reszte?
z gory dzieki za info

[florek177]

1. Piewerwiastkami wielomianu W(x) są 1 i -1.

2. Z tw. o rozkładzie wielomianu wiemy, że istnieją takie dwa wielomiany F(x) i R(x), że:

\(\displaystyle{ W(x)=F(x)(x-1)(x+1)+R(x)\;}\); gdzie \(\displaystyle{ \;R(x)=ax+b}\);

3. Wyznaczamy W(1) i W(-1) ;

4. Piszemy układ równań na podstawie wzoru 2.

\(\displaystyle{ 1=F(1)\cdot{0}+a+b\;}\) i \(\displaystyle{ 1=F(-1)\cdot{0}-a+b\;}\);

5. wyznaczamy a i b i podstawiamy do R(x), co daje nam szukaną resztę.