Wykazać, że jeżeli równania
\(\displaystyle{ x^3}\)+ax+b=0 i \(\displaystyle{ x^3}\)+cx+d=0
maja wspólny pierwiastek, to \(\displaystyle{ (ad-bc)(a-c)^2}\)=\(\displaystyle{ (b-d)^2}\)
Prosiłbym o wymyślanie tematów, które będą mówić więcej zainteresowanym, gdyż ten był bardzo enigmatyczny i miał tylko dwa słowa - patrz regulamin.
Dwa wielomiany sześcienne o wspólnym pierwiastku
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Dwa wielomiany sześcienne o wspólnym pierwiastku
Chyba jest błąd w zapisie, bo coś nie wychodzi.
Skoro mają wspólny pierwsiastek to niech nim będzie x.
Możemy to porównać i mamy:
\(\displaystyle{ x^3+ax+b=x^3+cx+d\Longleftrightarrow x=\frac{b-d}{c-a}}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ x(x^2+c)=-d\wedge x(x^2+a)=-b}\)
Podzielmy przez to co jest w nawiasach i porównajmy:
\(\displaystyle{ x^2d+ad=x^2b+bc}\)
\(\displaystyle{ x^2(b-d)=ad-bc}\)
Tutaj powstawiasz to \(\displaystyle{ x=\frac{b-d}{c-a}}\)
I masz:
\(\displaystyle{ (b-d)^3=(a-c)^2(ad-bc)}\)
Skoro mają wspólny pierwsiastek to niech nim będzie x.
Możemy to porównać i mamy:
\(\displaystyle{ x^3+ax+b=x^3+cx+d\Longleftrightarrow x=\frac{b-d}{c-a}}\)
Oraz:
\(\displaystyle{ x(x^2+c)=-d\wedge x(x^2+a)=-b}\)
Podzielmy przez to co jest w nawiasach i porównajmy:
\(\displaystyle{ x^2d+ad=x^2b+bc}\)
\(\displaystyle{ x^2(b-d)=ad-bc}\)
Tutaj powstawiasz to \(\displaystyle{ x=\frac{b-d}{c-a}}\)
I masz:
\(\displaystyle{ (b-d)^3=(a-c)^2(ad-bc)}\)