Dwa wielomiany sześcienne o wspólnym pierwiastku

[basia]

Wykazać, że jeżeli równania
\(\displaystyle{ x^3}\)+ax+b=0 i \(\displaystyle{ x^3}\)+cx+d=0
maja wspólny pierwiastek, to \(\displaystyle{ (ad-bc)(a-c)^2}\)=\(\displaystyle{ (b-d)^2}\)


Prosiłbym o wymyślanie tematów, które będą mówić więcej zainteresowanym, gdyż ten był bardzo enigmatyczny i miał tylko dwa słowa - patrz regulamin.

[Zlodiej]

Chyba jest błąd w zapisie, bo coś nie wychodzi.

Skoro mają wspólny pierwsiastek to niech nim będzie x.

Możemy to porównać i mamy:

\(\displaystyle{ x^3+ax+b=x^3+cx+d\Longleftrightarrow x=\frac{b-d}{c-a}}\)

Oraz:

\(\displaystyle{ x(x^2+c)=-d\wedge x(x^2+a)=-b}\)

Podzielmy przez to co jest w nawiasach i porównajmy:

\(\displaystyle{ x^2d+ad=x^2b+bc}\)

\(\displaystyle{ x^2(b-d)=ad-bc}\)

Tutaj powstawiasz to \(\displaystyle{ x=\frac{b-d}{c-a}}\)

I masz:

\(\displaystyle{ (b-d)^3=(a-c)^2(ad-bc)}\)