Udowodnij że zawsze dodatnia.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Duke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 267
Rejestracja: 30 kwie 2007, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z internetu
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 2 razy

Udowodnij że zawsze dodatnia.

Post autor: Duke »

Udowodniej że dla każdego m zachodzi:
\(\displaystyle{ m^{4}-4m^{3}-2m+81>0}\)
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 208 razy

Udowodnij że zawsze dodatnia.

Post autor: setch »

\(\displaystyle{ f(m)=m^4-4m^3-2m+81\\
\lim_{m \to +\infty} f(m)=+\infty\\
\lim_{m \to -\infty} f(m) = +\infty\\
f'(m)=4m^3-12m^2-2}\)

Teraz trzeba znaleźć miejsca zerowe pochodnej, aby policzyć ekstrema funkcji, które powinny przyjmować wartości dodatnie. Ostatecznie na podstawie ciągłości funkcji wielomianowej, granicach w nieskonczoności oraz wyliczonych ekstremach stwierdzić prawdziwość tezy. Tylko mam problem ze znalezioniem miejsc zerowych pochodnej. Do tego można się posłużyć twierdzeniem Darboux i odnaleźć przybliżone pierwiastki.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Udowodnij że zawsze dodatnia.

Post autor: Sylwek »

Próbowałem to rozłożyć na iloczyn dwóch nierozkładalnych trójmianów, ale nie dało się elementarnie. Więc spróbujmy trochę naokoło:

\(\displaystyle{ \lim_{m \to +\infty} f(m)=+\infty \\ \lim_{m \to -\infty} f(m)=+\infty}\)

a) \(\displaystyle{ f(m)=m(m^3-4m^2-2)+81>0}\)
Dla \(\displaystyle{ m>5}\) jest to prawda, bo oba składniki są dodatnie.

b) \(\displaystyle{ f(m)=m^3(m-4)+ (-2m+81)>0}\)
Dla \(\displaystyle{ m}\) jest to prawda, bo oba składniki są dodatnie.

c) Teraz rozważmy przedział \(\displaystyle{ m \in }\). Niech:
\(\displaystyle{ g(m)=m^4-4m^3}\)
\(\displaystyle{ h(m)=-2m+81}\)

Widzimy, że \(\displaystyle{ f(m)=g(m)+h(m)}\)

Dla \(\displaystyle{ m \in }\) mamy \(\displaystyle{ h(m) \geq 71}\), zatem w tym przedziale:
\(\displaystyle{ f(x) \geq m^4-4m^3+71}\)

Teraz rozważmy g'(m). Mamy:
\(\displaystyle{ g'(m)=4m^3-12m^2=4m^2(m-3)}\)

Zatem mamy ekstrema lokalne: \(\displaystyle{ g'(m)=0 \iff m=0 \vee m=3}\).

Obliczamy:
\(\displaystyle{ f(0) \geq g(0)+71=71 >0}\)
\(\displaystyle{ f(3) \geq g(3)+71=3^4 - 4 \cdot 3^3+71=81-108+71=152-108=44>0}\)

Ekstrema są dodatnie, zatem dla każdej m rzeczywistej \(\displaystyle{ f(m)>0}\), co należało udowodnić ;)
ODPOWIEDZ