pierwiastki a współczynniki 2

[tomo88]

Zadanie:
Podaj przyklad wielomianu o współczynnikach calkowitych, ktorego jednym z pierwiastkow jest:


sqrt{2} + sqrt{7}


gdyby ktos mogl podac tok rozumowania w jaki mozna to zadanie rozwiazac to bym byl wdzieczny


Pozdro

[ Dodano: 4 Stycznia 2008, 18:58 ]
jednym z pierwiastkow jest:
pierwiastek z 7 + pierwiastek z 5

[Dargi]

\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2}-\sqrt{7})(x^2+x+1)}\)
Mnożysz i masz :d

[Qń]

\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2}-\sqrt{7})(x^2+x+1)}\)
Mnożysz i masz :d

Tylko Twój wielomian ma mało całkowite pierwiastki .

A rozwiązać zadanie można tak:
\(\displaystyle{ x= \sqrt{2} + \sqrt{7} \\
x^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2=9+2\sqrt{14} \\
x^2-9 =2 \sqrt{14} \\
(x^2-9)^2 = 56 \\
x^4-18x^2 +25 = 0}\)
Z tej konstrukcji naturalnie wynika, że żądana liczba jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^4-18x^2 +25}\).

Pozdrawiam.
Qń.

[Dargi]

Tylko Twój wielomian ma mało całkowite pierwiastki

Oczywiście mój błąd. Nie doczytałem polecenia.