Pierwiastki wielomianu

[alien]

Mam takie zadanko, umiem roziwązac do pewnego momentu, a później już nie:
Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x), jeśli \(\displaystyle{ W(x) = 3x^3 + x^2 - 6x - 2}\)
wyznaczam miejsce zerowe, które równe jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i teraz nie wiem co mam zrobic? Mam podzielic ten wielomian przez \(\displaystyle{ x - \frac{1}{3}}\), jeśli tak to co mi to da?
Pomoże mi ktoś?

[Szemek]

\(\displaystyle{ 3x^3 + x^2 - 6x - 2 = 3x^2(x+\frac{1}{3})-6(x+\frac{1}{3}) = 3(x^2-2)(x+\frac{1}{3}) = \\ = 3(x - \sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x+\frac{1}{3})}\)

[natkoza]

na oje oko \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, ale \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\) już tak, więc musisz podzielić ten wielomian przez wielomian \(\displaystyle{ x+\frac{1}{3}}\) po czym dostaniesz w wyniku, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+\frac{1}{3})\cdot Q(x)}\)gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wielomianem stopnia drugiego, później już wtyulko liczysz wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta}\) i pierwiastki tego trójmianu i otrzymasz wzystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
Powiem na koniec, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+\frac{1}{3})(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}\)

[alien]

A można to obiczyc bez rozkładania na czynniki? Myślałem, żeby to podzielic przez \(\displaystyle{ x-\frac{1}{3}}\) i potem obliczyc jak dla trójmianu kwadratowego miejsca zerowe?

[natkoza]

dokładnie do tego się to sprowadza ja ci tylko zapisałam dla informacji, ten wielomian w postaci iloczynowej, bo z niej możesz sobie odczytać te miejsca zerowe

[alien]

A możecie mi powiedziec czy te pierwiastki to x_1=0 x_2=2? Z góry dzięki za odpowiedź:)

[Szemek]

nie,
\(\displaystyle{ x_1=-\sqrt{2}, \ x_2=\sqrt{2}}\)

[ Dodano: 2 Stycznia 2008, 18:35 ]
wyobraż sobie, że (jeśli to możliwe) sprawne pogrupowanie wyrazów i rozkład na czynniki jest dużo pewniejszy i szybszy niż liczenie pierwiastków równania kwadratowego

[alien]

Domyślam się, ze jeste prostsze i szybsze, ale my jeszcze nie rozkładalismy na czynniki wiec chciałbym to zrobic tak jak ja to myslałem. Wiem ze Twój sposób jest lepszy ale możecie mi powiedziec jak to powinno wyglądac w moim sposobie? Prosze o odpowiedź:)

[natkoza]

po podzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x+\frac{1}{3}}\) otrzymasz, ze \(\displaystyle{ W(x)=(3x^2-6)(x+\frac{1}{3})}\) teraz możesz normanie policzyć \(\displaystyle{ \Delta}\) pirwszego nawiasu, lub wyłączając \(\displaystyle{ 3}\) przed naisa skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia... niezależnie od wybranej metody wynik musi wyjść ten sam

[alien]

Chyba otrzymam: \(\displaystyle{ W(x)=(3x^2 - 6)(x+ \frac{1}{3})}\)?


Edit: Ah, Szemek ubiegłeś mnie:P

P.S. Dzięki wszystko wyszło