ekstremum, funkcja stopnia trzeciego

[sea_of_tears]

Dla jakiej wartości parametru m funkcja \(\displaystyle{ f(x)=4+mx - x^3}\) osiąga ekstremum równe 0 ?

[natkoza]

\(\displaystyle{ f'(x)=-3x^2+m\\
f'(x)=0 \Leftrightarrow -3x^2+m=0 \Leftrightarrow -3(x^2-\frac{m}{3})=0 \Leftrightarrow -3(x-\sqrt{\frac{m}{3}})(x+\sqrt{\frac{m}{3}})=0\Leftrightarrow x-\sqrt{\frac{m}{3}}=0 \vee x+\sqrt{\frac{m}{3}}=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{m}{3}}\vee x=-\sqrt{\frac{m}{3}}\\
f'(x)>0 \Leftrightarrow -3x^2+m>0 \Leftrightarrow -3(x^2-\frac{m}{3})>0 \Leftrightarrow -3(x-\sqrt{\frac{m}{3}})(x+\sqrt{\frac{m}{3}})>0 x\in (-\sqrt{\frac{m}{3}},\sqrt{\frac{m}{3}})\\
f'(x) -3x^2+m -3(x^2-\frac{m}{3}) -3(x-\sqrt{\frac{m}{3}})(x+\sqrt{\frac{m}{3}}) x\in (-\infty.-\sqrt{\frac{m}{3}})\cup (\sqrt{\frac{m}{3}},\infty)}\)
czyli, minimum jest w punkcie \(\displaystyle{ x=-\sqrt{\frac{m}{3}}}\) natomiast matsimum w punkcie \(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{m}{3}}}\)
jezeli ekstremum ma być równe \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{m}{3}}=0 -\sqrt{\frac{m}{3}}=0 \frac{m}{3}=0 m=0}\)
czyli ta funkcja musi być postaci \(\displaystyle{ f(x)=4-x^3}\)