wielomian - współczynniki

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 29 gru 2007, o 19:59

Wielomian ( \(\displaystyle{ \sqrt{2}x + \sqrt{3} )^{10}}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ a_{10} x^{10} + a_{9} x^{9} + ... + a_{1}x + a_{0 }}\) . Wśród współczynników \(\displaystyle{ a_{0 }, a_{1 }, ... , a_{10 }}\) wskaż te, które są liczbami wymiernymi.

Może ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania ?

dabros · Post autor: **dabros** » 29 gru 2007, o 20:06

można wykorzystac wzor na rozwiniecie dwumianu newtona:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n}= \sum_{k=0}^{n} a^{n-k}b^{k}}\)
czyli w naszym przykładzie będą to wyrazy przy których \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)}\) sa liczbami parzystymi, a wiec wyrazy 10, 8, 6, 4, 2 i 0;

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 29 gru 2007, o 20:40

a mógłbyś trochę bardziej rozpisać tą sytuację , żebym mógł lepiej zrozumieć ?

dabros · Post autor: **dabros** » 29 gru 2007, o 21:13

ok, a więc \(\displaystyle{ \sqrt{2} i \sqrt{3}}\) sa wzglednie pierwsze i obie niewymierne, wiec ich iloczyn nie moze byc wymierny (to od razu widac)
wiec jedynym sposobem na uzyskanie wymiernosci jest to aby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)podniesiony do odpowiedniej potegi byl wymierny oraz \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) wystepujacy w tym samym elemencie podniesiony do potegi tez byl wymierny
napisany przeze mnie wzor sluzy do tego, aby zobaczyc, ktore wyrazy maja jaki iloczyn zmiennych w danych potegach
zawsze mozna rozpisac to wyrazenie wg podanego wzoru i przekonac sie na wlasne oczy

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 29 gru 2007, o 21:50

chcę przekonać się na własne oczy
czyli

\(\displaystyle{ {10\choose 2k}\cdot (\sqrt{2})^{10-2k}\cdot (\sqrt{3})^{2k}}\)
i tutaj w nawiasie musi być 2k ( nie może być k ) bo te wyrazy musimy podnieś do parzystej potęgi , dobrze rozumiem ?

i zarazem udowodniliśmy, że 10 wyraz będzie liczbą wymierną tak ?

a tutaj

\(\displaystyle{ {9\choose 2k}\cdot (\sqrt{2})^{9-2k}\cdot (\sqrt{3})^{2k}}\)

pokazaliśmy, że 9 wyraz nie będzie liczbą wymierną tak ? dobrze rozumiem czy przekombinowałem ?

dabros · Post autor: **dabros** » 29 gru 2007, o 22:19

idealnie wrecz

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 29 gru 2007, o 22:51

Oczywiście, ślicznie dziękuje i jeszcze jedno
\(\displaystyle{ {10\choose 2k}\cdot (\sqrt{2})^{10-2k}\cdot (\sqrt{3})^{2k}}\) i to zachodzi dla :
\(\displaystyle{ k\in \{0,..,5\}}\) tak ? i to n w nawiasie ( w Dwumianie Newtona ) oznacza liczbę naruralną ( np. 10,9,8, ... i.t.d. ) tak ?

dabros · Post autor: **dabros** » 29 gru 2007, o 23:00

tak, a z definicji symbolu newtona:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} N}\), bo: \(\displaystyle{ k qslant n}\)

a wiec znowu dobrze zrozumiales