liczba pierwiastków równania

dabros · Post autor: **dabros** » 27 gru 2007, o 18:19

\(\displaystyle{ l(x)}\) oznacza liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ m^{3}-3m+2=x}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ m}\), w zależności od parametru rzeczywistego \(\displaystyle{ x}\). Znaleźć miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ y=l(x)-2}\).

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 27 gru 2007, o 18:32

Na oko ta funkcja nie będzie w ogóle miała miejsc zerowych. Wnioskuję, że pierwiastki mają być rzeczywiste (jeśli chodzi w ogóle o pierwiastki niekoniecznie rzeczywiste, to \(\displaystyle{ l(x)=3}\) tożsamościowo). Co jeśli założymy, że pierwiastki te mają być rzeczywiste. Dochodzimy do małego problemu, ponieważ wielomian stopnia trzeciego (z tw. Darboux) ma albo 1 pierw. rzeczywisty i 2 zespolone, albo wszystkie trzy pierwiastki rzeczywiste. Gdyby posiadał jedynie 2 takie pierwiastki to oznaczałoby, że musi posiadać jeden pierwiastek podwójny. I tu rodzi się pytanie, czy pierwiastek podwójny tutaj liczymy jako 2 pierwiastki czy też uznajemy, że to tylko jeden pierwiastek? Jeśli to pierwsze, to \(\displaystyle{ l(x)=1\vee 3}\), natomiast w 2 przypadku trzeba jeszcze chwilę pomyśleć (ja zawsze uznawałem tą pierwszą wersję)

Dargi · Post autor: **Dargi** » 27 gru 2007, o 18:46

\(\displaystyle{ x=f(m)}\)
\(\displaystyle{ f(m)=m^3-3m+2=m^3-m^2+m^2-m-2m+2=(m-1)(m^2+m-2)=(m-1)(m+2)(m-1)=(m-1)^2(m+2)}\)
Rysujemy tą funkcję i widzimy że funkcja \(\displaystyle{ l(x)}\) wygląda następująco:
\(\displaystyle{ l(x) \begin{cases} 1\ dla\ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty) \\ 2\ dla\ x=0\vee x=4 \\3 \dla\ x\in(0;4) \end{cases}}\)
Jak widać funkcja ta posiada 3 wykresy które są równoległe do osi OX więc nie posiada miejsc zerowych, ale dla funkcji \(\displaystyle{ y=l(x)-2}\) gdzie wykres przesuwamy w dół o 2 jednostki powoduje że mamy dwa miejsca zerowe dla \(\displaystyle{ x=0\vee x=4}\)

przemk20 · Post autor: **przemk20** » 27 gru 2007, o 19:15

heh no to chyba chodzi o to drugie to znaczy a zeby byl pierwiastek podwojny, a wiec niech
\(\displaystyle{ f(m) = m^3 -3m+2 -x}\)
oczywiscie musi byc
\(\displaystyle{ f'(m_0)=0, \ \ f'(m) = 3m^2 - 3 = 3(m-1)(m+1) \\
m_0 = 1 m_0 = -1 \\
czyli \ \ f(1)=0 f(-1) = 0 \\
x=0 x=4, \\}\)
czyli x=4 i x=0 jest rozwiazaniem.

dabros · Post autor: **dabros** » 28 gru 2007, o 20:47

jak wyznaczyć, że ta funkcja osiąga maksimum lokalne w (-1) ?

Dargi · Post autor: **Dargi** » 28 gru 2007, o 22:09

dabros, a o jakiej funkcji mówisz?

dabros · Post autor: **dabros** » 28 gru 2007, o 22:32

nieważne - już poradziłem sobie z tym problemem (chodziło o pokazanie ograniczenia z 4 w funkcji l(x))