równanie wielomianowe

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 27 gru 2007, o 13:00

Witam,

mam problem z takimi równaniami:

1-\(\displaystyle{ 4x ^{3} -13x ^{2} -13x+4=0}\)
.......tutaj to dochodzę do:\(\displaystyle{ 4(x ^{2} +1)-13x(x+1)=0}\) i nie wiem jak te czynniki wyprowadzić :/

2-\(\displaystyle{ x ^{3}-9x ^{2} +23x-15=0}\)
......tego to nie wiem :/

3-\(\displaystyle{ 16x ^{3}-28x ^{2} +4x+3=0}\)
.........a w tym nie wiem co zrobic z tą "3" ??

natkoza · Post autor: **natkoza** » 27 gru 2007, o 13:19

we wszystkich przypadkach najlepiej poszykać ierwiastków wśród dzielników wyrazów wolnych

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 27 gru 2007, o 14:29

2)\(\displaystyle{ x^3 - x^2 - 8x^2 +8x + 15x - 15 = x^2(x-1) - 8x(x-1) + 15(x-1) = (x^2 - 8x+15)(x-1) = (x-5)(x-3)(x-1)}\)
1)Nie powinno być \(\displaystyle{ 4x^3}\) ?

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 27 gru 2007, o 14:58

a 1 jak?

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 27 gru 2007, o 15:03

1\(\displaystyle{ W(x) = 4x^3 + 4x^2 - 17x^2 - 17x + 4x + 4 = 4x^2(x+1) - 17x(x+1) + 4(x+1) = (4x^2 -17x + 4)(x+1) \\
Rownanie \ kwadratowe: \\
4x^2 - 17x + 4 = 0 \\
x = \frac{17 15}{8} \\
W(x) = (x-4)(4x-1)(x+1)}\)

natkoza · Post autor: **natkoza** » 27 gru 2007, o 15:04

\(\displaystyle{ 4x^3-13x^2-13x+4=0\\
4(x^3+1)-13x(x+1)=0\\
4(x+1)(x^2-x+1)-13x(x+1)=0\\
(x+1)[4(x^2-x+1)-13x]=0\\
(x+1)(4x^2-4x+4-13x)=0\\
(x+1)(4x^2-17x+4)=0\\
(x+1)(x-\frac{1}{4})(x-4)=0}\)

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 27 gru 2007, o 16:28

dziękuje

czyli zostało 3 )

natkoza · Post autor: **natkoza** » 27 gru 2007, o 16:37

Łatwo jest zgadnąć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego wielomiany.. po podzieleniu tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x-\frac{1}{2}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 16x^3-28x^2+4x+3=0\\
(x-\frac{1}{2})(16x^2-20x-6)=0\\
16(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2})(x+\frac{1}{4})=0}\)

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 27 gru 2007, o 17:08

dzięki, ale nie rozumiem jak przeszłaś do ostatniej linijki?? i skąd wiadomo że 1/2?? tzn jak to widać "od razu" ??

natkoza · Post autor: **natkoza** » 27 gru 2007, o 17:19

w oststniej linijce jest \(\displaystyle{ (x-\frac{1}{2})}\) pomnożona przez postać iloczynową funkcji kwadratowej w drugim nawisie
a to, ze \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu można zgadnąć lub znaleźć ten ułamek wśród ułamków nieskracalnych postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 3}\) a \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 16}\)
mi akurat udało się zgadnąc