Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu...

[miles]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez dwumiany \(\displaystyle{ (x+2), (x-5)}\) daje reszty odpowiednio równe \(\displaystyle{ 15}\) oraz \(\displaystyle{ 8}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{3}-4x^{2}-7x+10}\), wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)

Wynika z tego, że reszta będzie miała postać: \(\displaystyle{ R(x)=ax^{2}+bx+c}\), bo \(\displaystyle{ st. R(x) < st. P(x)}\), do tego wiemy, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to wielomian jest podzielny przed dwumian \(\displaystyle{ (x-z)}\), a jeżeli jest podzielny przez taki dwumian to: \(\displaystyle{ W(z)=z}\), czyli dla tego przypadku \(\displaystyle{ W(1)=1}\), a więc mamy: \(\displaystyle{ W(-2)=15, W(5)=8, W(1)=1}\) mając to mogę zapisać to wszystko w postaci układu trzech równań:


\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}W(-2)=Q(-2)* -8-16+14+10 + 4a-2b+c=15\\W(5)=Q(5)*125-100-35+10+25a+5b+c=8\\W(1)=Q(1)*1-4-7+10+a+b+c=1\end{array}}\)


z którego mamy taki układ:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}4a-2b+c=15\\25a+5b+c=8\\a+b+c=1\end{array}}\)

I próbuję go rozwiązań wg reguły Sarrusa. Wyznacznik główny wychodzi \(\displaystyle{ W=84}\), a \(\displaystyle{ W _{a}=77}\), czyli \(\displaystyle{ a= \frac{W _{a} }{W}}\), czyli \(\displaystyle{ a= \frac{77}{84}}\), a to raczej nigdy nie będzie się równać \(\displaystyle{ 1}\), w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ R(x)=x^{2}-4x+3}\).
Dopatruję się swego błędu przy tym założeniu z pierwiastkiem, lecz niestety nie potrafię wymyślić co z tym nie tak, jeśli ktoś byłby tak miły i mógłby wskazać ten błąd to byłbym wdzięczny .

[Szemek]

\(\displaystyle{ W(1)=0}\)

i wtedy z układu:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}4a-2b+c=15\\25a+5b+c=8\\a+b+c=0\end{array}}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=-4 \\ c=3 \end{cases}}\)

[miles]

Ale gafa:) dzięki wielkie widać, że święta hehehe