Krotnośc pierwiastka, trzeci pierwiastek wielomianu

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 18:58

Mam takie dwa zadanka, które za nic nie chcą mi wyjśc:
1. Sprawdź czy liczba r jest pierwiastkiem Wielomianu W(x). jesli tak, określ krotnośc tego pierwiastka:
\(\displaystyle{ W(x)=8x^5-12x^4+14x^3-13x^2+6x-1}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}}\)
No oczywiście tutaj liczba r jest pierwiastkiem, ale licze dalej czyli, dziele ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x+\frac{1}{2})}\) i wychodzi mi reszta? Może mi ktoś napisac wynik z dzielenia, żebym mógł zobaczyc gdzie robie błąd? I jak mam dalej to policzyc?
2. Liczby r1 i r2 są pierwiastkami wielomianu W(x). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu, jeśli:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2-bx+6}\)
\(\displaystyle{ r1=1, r2=2}\) tutaj z koleji próbuje podstawiac za x 1 a potem 2, no ale potem wychodzą mi głupoty. powie mi ktoś jak mam to zrobic?;>
Pomoże mi ktoś?;) Z góry dziękuję:))

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2007, o 19:02

Powinieneś podzielić przez \(\displaystyle{ (x-\frac{1}{2})}\)
2)\(\displaystyle{ W(1) = 1 + a - b + 6 = a-b+7=0}\)
\(\displaystyle{ W(2) = 8+4a -2b+6 = 4a-2b+14=0}\)
Z tego:
\(\displaystyle{ a=0 b=7 W(x) = x^3-7x+6}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^3-x -6x+6 = x(x^2-1) - 6(x-1) = [x(x+1) - 6](x-1) = (x^2+x-6)(x-1) = (x+3)(x-2)(x-1)}\), więc trzecim pierwiastkiem jest -3.

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 19:09

Wychodzi mi reszty 1 w pierwszym;(

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2007, o 19:19

Mi wychodzi 0. Podziel sobie schematem Hornera, bo jest prościej.

Marta99 · Post autor: **Marta99** » 20 gru 2007, o 19:21

zad2.

\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-ax^{2}-bx+6\\

W(1)=1-a*1-b+6=0 1-a-b+6=0 //
-a-b=-7 a+b=7\\
W(2)=8-4a-2b+6=0 2a+b=7\\

a+b=7\\
2a+b=7\\

a=0\\
b=7

W(x)=x^{3}-7x+6\\

Wielomian jest podzielny przez (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2.}\)

Po podzieleniu wyjdzie Ci że W(X) możesz przedstawić jako \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x+3).}\)
Czyli trzeci pierwiastek to liczba 3

Zaraz pewnie mnie skasują choć nie wiem czemu jak coś to rozwiązanie jest w koszu

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 19:50

A jak mogę teraz obliczyc krotnośc tego pierwiastka?;>

natkoza · Post autor: **natkoza** » 20 gru 2007, o 19:54

jak juz rozdzielisz wielomian na czynniki liniowe to możesz z tej postaci łatwo odczytać krotnośc tego interesującego cię pierwiastka odczytując ile razy pojawia sie on w tym rozkłaczie

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 19:55

A możesz to dokładniej powiedziec, bo nie zrozumiałem?

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2007, o 20:02

Sprawdź, czy jest też pierwiastkiem podzielonego wielomianu, jeśli tak, to dziel dalej, aż nie będzie i tyle razy, ile był, taką ma krotność. W tym przypadku jednak będzie łatwo dojść do postaci iloczynowej i z niej wyciągnąć krotność pierwiastka:
\(\displaystyle{ W(x) = 8x^5-4x^4-8x^4+4x^3+1-x^3-5x^2 -8x^2+4x+2x-1=(4x^4-4x^3+5x^2-4x+1)(2x-1) = (2x^3-x^2+2x-1)(2x-1)^2 = (x^2+1)(2x-1)^3}\), a więc jest on pierwiastkiem potrójnym.

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 20:07

A jeśli można wiedziec do skąd można tak rozłożyc ten wielomian? To jakiś sposób czy tylko tak na "oko"?

[ Dodano: 20 Grudnia 2007, 20:09 ]
Kurcze no a skąd to się wzięło :\(\displaystyle{ W(x) = 8x^5-4x^4-8x^4+4x^3+1-x^3-5x^2 -8x^2+4x+2x-1}\)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2007, o 20:15

Próbowałem go rozkładać z założeniem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem, więc:
\(\displaystyle{ W(x) =8x^5-4x^4-8x^4+4x^3+10x^3-5x^2-8x^2+4x+2x-1=4x^4(2x-1)-4x^3(2x-1) + 5x^2(2x-1) - 4x(2x-1) + (2x-1) = (4x^4-4x^3+5x^2-4x+1)(2x-1)= (4x^4-2x^3-2x^3+x^2+4x^2-2x-2x+1)(2x-1)=[2x^3(2x-1)-x^2(2x-1) +2x(2x-1) - (2x-1)] (2x-1) = (2x^3 -x^2 +2x - 1)(2x-1)^2 = [x^2(2x-1)+(2x-1)](2x-1)^2 = (x^2+1)(2x-1)^3}\)

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 20:18

Ok, a przez co musiałym teraz podzielic, jeśli chciałbym dalej ten wielomian dzielic?

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2007, o 20:20

Dzieli się przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\), gdzie a to pierwiastek wielomianu, więc w tym przypadku przez \(\displaystyle{ (x -\frac{1}{2})}\)

alien · Post autor: **alien** » 20 gru 2007, o 20:28

No tak, ale to już zrobiłem, i teraz powinienem dzielic dalej, aż zostanie mi reszta, więc przez co teraz?

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2007, o 20:35

Jak już masz resztę to dalej nie dzielisz i ustalasz, że pierwiastek jest k-krotny jeśli udało ci się podzielić bez reszty k razy.