Witam, mam problem z tymi kilkoma zadaniami, bardzo prosze o pomoc.
1) Dla jakich wartosci parametru m rownanie \(\displaystyle{ (x-m)^2[m(x-m)^2-m-1] +1 = 0}\) ma wiecej pierwiastkow dodatnich niz ujemnych?
2)Wyznacz te wartosci parametru m dla ktorych rownanie\(\displaystyle{ (x^2-2x+m-2)(|x-1| - m +1)=0}\) ma dokladnie trzy pierwiastki rzeczywiste, oblicz te pierwiastki
3) Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = (x^2 -3x +1)^{2005}}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^2 - 4x +3}\)
4)Dla jakich wartosci parametru m wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^4-2x^3-6x^2+10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny?
5)Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x^4 +4x^3+ax^2 +bx + 2}\) przez dwumian x-1 wiedzac, ze funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ax^2+bx+2}\) dla x=3 osiaga maximum rowne 11
Z gory dziekuje za pomoc
[ Dodano: 19 Grudnia 2007, 19:38 ]
zadanie 3 wlasnie zrobilem:)
[ Dodano: 19 Grudnia 2007, 20:06 ]
5 tez juz zrobione.
kilka zadan z wielomianami
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
kilka zadan z wielomianami
1)
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=38181
2)oczywiście dane równanie jest równoważne alternatywie: \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2 = 0\ \vee \ |x-1| = m-1}\). Jak by nie patrzeć, to drugie równanie powinno mieć przynajmniej jedno rozwiązanie (żeby warunki zadania były spełnione), więc musi być: \(\displaystyle{ m\geq 1}\). Dla \(\displaystyle{ m=1}\)(pierwszy przypadek) sprawdź co się dzieje na piechotę.
Później załóż, że \(\displaystyle{ m>1}\) (drugi przypadek) - wtedy drugie równanie ma na pewno dwa różne rozwiązania. Narzuca się wniosek (nielogiczny), że pierwsze powinno mieć w tej sytuacji tylko jedno rozwiązanie, ale to pozór, gdyż może ono mieć dwa rozwiązania, z których jedno będzie się pokrywać z jednym rozwiązaniem równania drugiego. Dlatego warto wyznaczyć rozwiązania drugiego równania; są to oczywiście liczby: \(\displaystyle{ m}\)oraz \(\displaystyle{ -m+2}\). Należy sprawdzić, dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ m}\) spełnia pierwsze równanie i sprawdzić dokładnie, czy przy tym \(\displaystyle{ m}\) są spełnione warunki zadania; potem sprawdzić, dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ -m+2}\) spełnia pierwsze równanie i sprawdzić, czy wtedy są spełnione warunki zadania. Potem założyć, że \(\displaystyle{ m}\) jest różne od tych wartości rozważonych przed chwilą (wtedy rozwiązania równań się nie powtarzają) i przyjąć warunek: \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) dla pierwszego równania.
4)Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma pierwiastek trzykrotny \(\displaystyle{ x_0}\), to:
\(\displaystyle{ W'}\) ma pierwiastek dwukrotny \(\displaystyle{ x_0}\)
\(\displaystyle{ W''}\) ma pierwiastek jednokrotny \(\displaystyle{ x_0}\)
\(\displaystyle{ W'''}\) nie ma pierwiastka \(\displaystyle{ x_0}\)
Następnie dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ W'''}\), jest za to pierwiastkiem jednokrotnym \(\displaystyle{ W''}\) oraz podwójnym \(\displaystyle{ W'}\), więc musi zachodzić: \(\displaystyle{ W(1)=0}\), by wielomian \(\displaystyle{ W}\) miał pierwiastek trzykrotny, z tego \(\displaystyle{ m=-4}\)
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=38181
2)oczywiście dane równanie jest równoważne alternatywie: \(\displaystyle{ x^2-2x+m-2 = 0\ \vee \ |x-1| = m-1}\). Jak by nie patrzeć, to drugie równanie powinno mieć przynajmniej jedno rozwiązanie (żeby warunki zadania były spełnione), więc musi być: \(\displaystyle{ m\geq 1}\). Dla \(\displaystyle{ m=1}\)(pierwszy przypadek) sprawdź co się dzieje na piechotę.
Później załóż, że \(\displaystyle{ m>1}\) (drugi przypadek) - wtedy drugie równanie ma na pewno dwa różne rozwiązania. Narzuca się wniosek (nielogiczny), że pierwsze powinno mieć w tej sytuacji tylko jedno rozwiązanie, ale to pozór, gdyż może ono mieć dwa rozwiązania, z których jedno będzie się pokrywać z jednym rozwiązaniem równania drugiego. Dlatego warto wyznaczyć rozwiązania drugiego równania; są to oczywiście liczby: \(\displaystyle{ m}\)oraz \(\displaystyle{ -m+2}\). Należy sprawdzić, dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ m}\) spełnia pierwsze równanie i sprawdzić dokładnie, czy przy tym \(\displaystyle{ m}\) są spełnione warunki zadania; potem sprawdzić, dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ -m+2}\) spełnia pierwsze równanie i sprawdzić, czy wtedy są spełnione warunki zadania. Potem założyć, że \(\displaystyle{ m}\) jest różne od tych wartości rozważonych przed chwilą (wtedy rozwiązania równań się nie powtarzają) i przyjąć warunek: \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) dla pierwszego równania.
4)Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma pierwiastek trzykrotny \(\displaystyle{ x_0}\), to:
\(\displaystyle{ W'}\) ma pierwiastek dwukrotny \(\displaystyle{ x_0}\)
\(\displaystyle{ W''}\) ma pierwiastek jednokrotny \(\displaystyle{ x_0}\)
\(\displaystyle{ W'''}\) nie ma pierwiastka \(\displaystyle{ x_0}\)
Następnie dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ W'''}\), jest za to pierwiastkiem jednokrotnym \(\displaystyle{ W''}\) oraz podwójnym \(\displaystyle{ W'}\), więc musi zachodzić: \(\displaystyle{ W(1)=0}\), by wielomian \(\displaystyle{ W}\) miał pierwiastek trzykrotny, z tego \(\displaystyle{ m=-4}\)