Wyznacz resztę z dzielenia

[Marta99]

Zadanie 1.
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = (x ^{2} + 4x + 2) ^{2006}}\)przez wielomian
\(\displaystyle{ P(x) = x ^{2} + 4x + 3.}\)

Z góry dziękujuę za pomoc bo nie mam pojęcia o co chodzi z tą potęgą 2006.

[Grzegorz t]

nie ma problemu, podstawimy sobie \(\displaystyle{ a=x^2+4x+3}\) to mamy

\(\displaystyle{ W(x)=(a-1)(a-1)(a-1)\cdot ... (a-1)}\), przy czym tych członów jest \(\displaystyle{ 2006}\)
\(\displaystyle{ P(x)=a}\)

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{P(x)}=\frac{(a-1)(a-1)\cdot ... (a-1)}{a}}\) i zauważ, że teraz reszta z dzielenia licznika przez mianownik dla potęg parzystych wyniesie \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\), czyli odpowiedx \(\displaystyle{ R(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}}\)

[Symetralna]

\(\displaystyle{ P(x)= x^{2} + 4x+3 = (x+1)(x+3)}\)

\(\displaystyle{ W(-1)= ( (-1)^{2} + 4* (-1) +2) ^{2006} =1}\)
\(\displaystyle{ W(-3)= ( (-3)^{2}+4*(-3)+2) ^{2006} =1}\)
Reszta z dzielenia może być wielomianem o stopniu o jeden nizszym niz wielomian będący dzielnikiem. P(x) jest stopnia 2, więc R(x) będzie postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)

Istnieje taki wielomian Q(x), że;

\(\displaystyle{ W(x)= Q(x) * P(x) + R(x)}\)

\(\displaystyle{ W(x)= Q(x) *(x+1)(x+3) + ax+b}\)

\(\displaystyle{ W(-1)= Q(-1) * (-1+1)(-1+3) -a +b}\)

\(\displaystyle{ W(-3)= Q(-3)* (-3+1)(-3+3) +3a+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=1\\ 3a+b=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0\\ b=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ R(x)= 1}\)