Wielomian z parametrami

Franio · Post autor: **Franio** » 15 gru 2007, o 18:29

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-2x^{3}+ax^{2}-3x+b}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ G(x)=x^{2}-3x+3}\)

JHN · Post autor: **JHN** » 15 gru 2007, o 18:42

\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-2x^{3}+ax^{2}-3x+b}\)
z treści zadania:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-3x+3)(x^2+px+q)}\)
czyli ... wymnóż, uporządkuj i porównaj współczynniki przy odpowiednich potęgach. Z rozwiązanego układu - odpowiedź
Pozdrawiam

wb · Post autor: wb » 15 gru 2007, o 18:43

\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-2x^{3}+ax^{2}-3x+b=(x^{2}-3x+3)(x^2+px+q) \\ x^{4}-2x^{3}+ax^{2}-3x+b=x^4+(p-3)x^3+(q-3p+3)x^2+(3p-3q)x+3q}\)

Stąd po porównaniu współczynników:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p-3=-2 \\ q-3p+3=a \\ 3p-3q=-3 \\ 3q=b \end{cases}}\)

Zatem: p=1, q=2 oraz b=6, a=2.