pierwiastek dwukrotny wielomianu:/

Plomba · Post autor: **Plomba** » 10 gru 2007, o 21:54

Liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +20x-12}\) Wyznacz a i b. Dla wyznaczonych a i b rozłóż ten wilomian na czynniki. Prosze o szczegolowe wyjasnienia wlacznie z tym co to jest wlasciwie pierwiastek dwukrotny wilomianu.
Pozdrawiam!

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 22:17

to znaczy tyle, że dany wielomian można zapisać w postaci \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^2(x^2+px+q) \qquad p,q\in \mathbb{R}}\)
teraz rozpiszmy powyższą interpretację wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^2(x^2+px+q)=x^4+(p-4)^3+(q-4p+4)x^2+(4p-4q)x+4q}\)
teraz przyrównujemy współczynniki przy x-ach w kolejnych potęgach i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p-4=a\\q-4p+4=b\\4p-4q=20\\4q=-12\end{cases}}\)
Taki układ już nie powinien stwarzać dla Ciebie problemów możesz z niego wyliczyć bez problemów a i b

pe2de2 · Post autor: **pe2de2** » 10 gru 2007, o 22:18

pierwiastek dwukrotny znaczy tyle, ze wielomian dwókrotnie da się podzielić przez \(\displaystyle{ x-x_{0}}\)

czyli w tym wyoadku dzileisz swój wielomian przez \(\displaystyle{ (x-2)^{2}}\) i dajesz takie a i b aby nie było reszty

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 paź 2010, o 23:10

Najlepiej dwukrotnie skorzystać ze schematu Hornera i resztę przyrównać do zera
Dostaniesz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

DeathMan · Post autor: **DeathMan** » 13 lis 2010, o 15:19

BartekPwl pisze:to znaczy tyle, że dany wielomian można zapisać w postaci \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^2(x^2+px+q) \qquad p,q\in \mathbb{R}}\)

Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd Ci się wzięło akurat \(\displaystyle{ (x^2+px+q)}\)?

Bo mam podobny problem jak kolega wyżej, tylko że mam wielomian: \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{3} +bx ^{2} +cx +d}\), gdzie 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym i wiem, że na początku będzie \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^{2}}\) i nie wiem co dalej

Prosiłbym o pomoc

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 lis 2010, o 15:26

DeathMan, To jest postać ogólna równania kwadratowego

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( x-3\right)^{2}\left( px-q\right)}\)

Możesz też dwukrotnie skorzystać ze schematu Hornera i rozwiązać odpowiedni układ równań

fiolkaa123 · Post autor: **fiolkaa123** » 5 gru 2010, o 20:39

a jak oblicz pi i q?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 gru 2010, o 20:51

To nic nie zmieni, ale \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^2 (ax-q)}\) - czyli (a = p), ale autor nie podał całej treści zadania, więc nie można go jednoznacznie rozwiązać.