Dzielenie wielomianów bez dzielenia

epcrew · Post autor: **epcrew** » 10 gru 2007, o 17:55

Witam

Mam prośbę kolejną, czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi takie przykład:

Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x ^{8}-1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{2} +x-2}\).

Pozdrawiam...

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 18:38

[tip] Wspólnym pierwiastkiem obu wielomianów jest \(\displaystyle{ 1}\)

epcrew · Post autor: **epcrew** » 10 gru 2007, o 18:40

a czemu nie \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -2}\)

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 10 gru 2007, o 18:41

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)Q(x)+R(x)}\), gdzie stopień R(x) < Stopień Q(x), zatem R(x)=ax+b. Ale \(\displaystyle{ Q(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x+2)(x-1)+ax+b}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}W(1)=-a+b=0 \\ W(-2)=2a+b=255 \end{cases} \\ a=85, \ b=85 \\ R(x)=85x+85}\)

epcrew · Post autor: **epcrew** » 10 gru 2007, o 18:47

\(\displaystyle{ Q(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)}\)

i czemu 255?

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 10 gru 2007, o 18:50

epcrew pisze:a czemu nie \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -2}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem wyłącznie wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), a \(\displaystyle{ -2}\) jest wyłącznie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\).

epcrew pisze:i czemu 255?

Policz wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) dla \(\displaystyle{ -2}\).

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 10 gru 2007, o 18:51

Racja, poprawiłem - ale miałem trochę szczęścia i reszta się nie zmieniła

Czemu 255:
\(\displaystyle{ W(-2)=(-2)^8-1=255}\)

epcrew · Post autor: **epcrew** » 10 gru 2007, o 19:26

dobra już wiem, wielkie dzięki chłopaki