Rozkład wielomianu na czynniki.

[mikaaa]

Witam
Mam pytanie : jak rozłożyć na czynniki wielomiany1) \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) oraz 2)\(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}-2}\)??

[Rogal]

Do pierwszego dodaj i odejmij \(\displaystyle{ 2x^{2}}\), a w drugim zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ x^{2}=t}\) i rozłóż powstały trójmian kwadratowy. A następnie podstaw z powrotem.

[Tomasz Rużycki]

W drugim możesz także zapisać \(\displaystyle{ -x^2}\) jako \(\displaystyle{ -2x^2+x^2}\) Potem już 'z górki' =)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[florek177]

1. nie wiem, może w zespolonych.

2. \(\displaystyle{ (x-\sqrt{2}) (x+\sqrt{2}) (x^{2}+1)}\)

[Tomasz Rużycki]

Florek: Rogal już napisał jak rozłożyć pierwszy wielomian...

\(\displaystyle{ x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[mikaaa]

\(\displaystyle{ x^4+1=(x^2+1)-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\)

a czy mógłby mi ktos wytłumaczyć jak przejść z 1) \(\displaystyle{ x^4+1}\) do \(\displaystyle{ (x^2+1)-2x^2}\) oraz z 2) \(\displaystyle{ (x^2+1)-2x^2}\) do \(\displaystyle{ (x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}\)??
pozdrawiam

[artak_serkses]

tam jest malutki błąd, bo \(\displaystyle{ (x^{2}+1)}\) powinno wyglądać \(\displaystyle{ (x^{2}+1)^{2}}\) i wtedy z górki

[dem]

mikaaa

\(\displaystyle{ x^{4}+1=(x^{2})^{2}+1^{2}}\)
Teraz musisz zobaczyć że jest to fragment wzorka:\(\displaystyle{ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\)

czyli jest to fragment:
\(\displaystyle{ (x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}-2x^{2}}\)następnie do wzorka \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}\) więc dostajesz:\(\displaystyle{ (x^{2}+1-\sqrt{2}x)(x^{2}+1+\sqrt{2}x)}\)