Udowodnij, że jezeli wielomian

[chef]

Udowodnij, że jezeli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + px + q}\) ma trzy pierwiastki, to p jest liczbą ujemną.

Sorki, że tyle zadań, ale zrobiłem sobie małą powtórkę z wielomianów i z tyloma zadaniami miałem problem.

[artak_serkses]

No to tak jak w poprzednim zadanku , tylko że teraz masz \(\displaystyle{ W_{x}=(x+a)(x+b)(x+c)}\), czyli \(\displaystyle{ W_{x}=x^{3}+x^{2}(a+b+c)+x(ac+ab+bc)+abc}\), czyli a+b+c=0, ac+bc+ab=p, abc=q i mamy trzy równania z trzema niewiadomymi, więc chyba powinieneś sobie poradzić pozdrawiam

[chef]

No to tak jak w poprzednim zadanku , tylko że teraz masz \(\displaystyle{ W_{x}=(x+a)(x+b)(x+c)}\), czyli \(\displaystyle{ W_{x}=x^{3}+x^{2}(a+b+c)+x(ac+ab+bc)+abc}\), czyli a+b+c=0, ac+bc+ab=p, abc=q i mamy trzy równania z trzema niewiadomymi, więc chyba powinieneś sobie poradzić pozdrawiam

no tak, mogę wyliczyć a b i c, ale dalej nie wiem jak przeprowadzić dowód...

ma ktoś jakiś pomysł?

[Zlodiej]

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=-2p}\)

No i to wszystko wyjaśnia ... Skoro lewa strona jest zawsze dodatnia to i prawa taka musi być ...

[chef]

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=-2p}\)

No i to wszystko wyjaśnia ... Skoro lewa strona jest zawsze dodatnia to i prawa taka musi być ...

No nie do końca rozumiem

Mamy

\(\displaystyle{ a+b+c=0\\(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=0\\(a+b+c)^2=2(ab+ac+bc)\\(a+b+c)^2=2p}\)
wychodzi na to, że p jest dodatnie

[Edit: olazola] Gdy piszesz w tex'u nie używaj entera do przejścia do nowej linii tylko znaku \\

[arigo]

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=-2p}\)
lewa strona dodatnia wiec prawa tez
-2p > 0 wiec p

[chef]

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=-2p}\)
lewa strona dodatnia wiec prawa tez
-2p > 0 wiec p