Uzasadnij, że dla każdej liczba naturalnej x
-
chef
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 27 lut 2005, o 20:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Las
- Podziękował: 2 razy
Uzasadnij, że dla każdej liczba naturalnej x
Uzasadnij, że dla każdej liczba naturalnej x wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^5 - 5x^3 = 4x}\) jest liczbą podzielną przez 120.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Uzasadnij, że dla każdej liczba naturalnej x
Jeżeli by ten wielomian rozłożyć na czynniki, to ta podzielność powinna sama wyjść.
\(\displaystyle{ W(x) = x^{5}-5x^{3}+4x = x(x^{4}-5x^{2}+4) = x((x^{2}-2)^{2}-x^{2}) = x(x^{2} - x - 2)(x^{2} + x - 2) = x(x-1)(x+2)(x-2)(x+1) = \\ =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych, czyli na pewno któreś dwie są podzielne przez 2 (w tym jedna przez cztery), jedna conajmniej przez 3 i zawsze jedna przez 5, czyli mamy iloczyn 2*4*3*5 = 120 c.b.d.o.
\(\displaystyle{ W(x) = x^{5}-5x^{3}+4x = x(x^{4}-5x^{2}+4) = x((x^{2}-2)^{2}-x^{2}) = x(x^{2} - x - 2)(x^{2} + x - 2) = x(x-1)(x+2)(x-2)(x+1) = \\ =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych, czyli na pewno któreś dwie są podzielne przez 2 (w tym jedna przez cztery), jedna conajmniej przez 3 i zawsze jedna przez 5, czyli mamy iloczyn 2*4*3*5 = 120 c.b.d.o.