Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) stopnia n spełnia warunek
\(\displaystyle{ P(k) = {1 \over k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,4,8,...,2^n}\)
Oblicz \(\displaystyle{ P(0)}\).
wartość wielomianu w 0
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
wartość wielomianu w 0
Zauważ, że: \(\displaystyle{ xP(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x=2^k}\), \(\displaystyle{ k=0,1,\dots,n}\)
Zatem wielomian n+1 stopnia \(\displaystyle{ Q(x)=xP(x)-1}\) ma dokładnie n+1 różnych pierwiastków (danych powyżej), skąd po kilku przekształceniach
\(\displaystyle{ P(x)\,=\,\frac1x\Big((-1)^n\prod\limits_{k=0}^n\big(\frac{x}{2^k}-1\big)+1\Big)}\)
gdzie współczynniki w produkcie w mianowniku są tak dobrane, aby wyraz wolny mianownika był równy zero.
Teraz pozostaje policzyc wyraz wolny wielomianu \(\displaystyle{ P}\), tj. współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) w wielomianie \(\displaystyle{ Q}\):
\(\displaystyle{ P(0)\,=\,1+\frac12+\dots+\frac1{2^n}\, =\, 2-\frac1{2^n}}\)
[ Dodano: 11 Grudnia 2007, 12:50 ]
BTW: dziś dopiero zauważyłem, że zadanie owo już zostało rozwiązane na Forum: popatrz tutaj przez TomciA, nota bene tak samo, znaczy pewnie jest to narzucające się (i chyba najprostsze) rozwiązanie...
Pozdrawiam,
Zatem wielomian n+1 stopnia \(\displaystyle{ Q(x)=xP(x)-1}\) ma dokładnie n+1 różnych pierwiastków (danych powyżej), skąd po kilku przekształceniach
\(\displaystyle{ P(x)\,=\,\frac1x\Big((-1)^n\prod\limits_{k=0}^n\big(\frac{x}{2^k}-1\big)+1\Big)}\)
gdzie współczynniki w produkcie w mianowniku są tak dobrane, aby wyraz wolny mianownika był równy zero.
Teraz pozostaje policzyc wyraz wolny wielomianu \(\displaystyle{ P}\), tj. współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) w wielomianie \(\displaystyle{ Q}\):
\(\displaystyle{ P(0)\,=\,1+\frac12+\dots+\frac1{2^n}\, =\, 2-\frac1{2^n}}\)
[ Dodano: 11 Grudnia 2007, 12:50 ]
BTW: dziś dopiero zauważyłem, że zadanie owo już zostało rozwiązane na Forum: popatrz tutaj przez TomciA, nota bene tak samo, znaczy pewnie jest to narzucające się (i chyba najprostsze) rozwiązanie...
Pozdrawiam,