\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} x+y + z = 0 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 26 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 36\end{array}}\)
noi łatwo wyliczyc , ze \(\displaystyle{ xy + yz + xz = -13}\) , a skad wziasc warunek \(\displaystyle{ xyz}\) ?
Uklad rownan stopnia III
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Uklad rownan stopnia III
Jeśli chcesz znaleźć xyz to proszę bardzo:
Niech x,y,z będą pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(m)=m^3+\alpha m^2 + \beta m+\gamma}\)
Korzystając ze wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x+y+z=-\alpha=0\\xy+xz+yz=\beta\\xyz=-\gamma\end{array}}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^3+\alpha x^2 + \beta x+\gamma=0\\y^3+\alpha y^2 + \beta y+\gamma=0\\ z^3+\alpha z^2+\beta z+\gamma=0\end{array}}\)
Dodaj to stronami.
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3+\alpha (x^2+y^2+z^2)+\beta (x+y+z)+3\gamma=0}\)
Podstawiając z równań powstałych przez zastosowanie wzorów Viete'a otrzymujesz równość:
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz=0}\)
Niech x,y,z będą pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(m)=m^3+\alpha m^2 + \beta m+\gamma}\)
Korzystając ze wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x+y+z=-\alpha=0\\xy+xz+yz=\beta\\xyz=-\gamma\end{array}}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^3+\alpha x^2 + \beta x+\gamma=0\\y^3+\alpha y^2 + \beta y+\gamma=0\\ z^3+\alpha z^2+\beta z+\gamma=0\end{array}}\)
Dodaj to stronami.
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3+\alpha (x^2+y^2+z^2)+\beta (x+y+z)+3\gamma=0}\)
Podstawiając z równań powstałych przez zastosowanie wzorów Viete'a otrzymujesz równość:
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz=0}\)