od cardano do ferrari i jeszcze dalej

[bisz]

tak sobie kiedys z nudow na lekcji polskiiego siedzialem skrobalem cos na papierze i skonczylo sie tym ze wyznaczylem wzor na pierwiastki trojmianu kwadratowego
no alae na tym sie nie skonczylo ktoregos dnia oswiecil mnie pomysl aby rozpisac wielomian o tak :
a(x-b)(x-c)(x-d)
i po wymnozeniu tego i pogrupowaniu otrzymalem
\(\displaystyle{ a(x^3+(b+c+d)x^{2}+(bc+cd+db)x-bcd)=0}\)
znajac kolejne wpolczynniki wielomianu tego ktory jest w nawiasie (bo a biore poza nawias) mozna sie pokusic o taki nietypowy uklad rownan

zeby abc nie mylillo sie ze wspolczynnikami wielomianu (bo sa to kolejno pierwiastki jego)
zamienmy je odpowiednio na x,y,z
zas bcd uznajmy za wlasciwe spolczynniki wielomianu

x+y+z=-b
xz+zy+xy=c
xyz=-d

zakladajac ze wielomian ma pierwiastki 1,2,4, to nie wiemy czy x jest akurat 1 czy moze 2 wiec nie musimy rozwiazywac wszystkich niewiadomych wystarczy ze w ktores postaci bedziemy mogli bezposrednio znac wartosc jednego i bedzie ona potrojnym rozwiazaniem jakeigos rownania rowna wlasnie kolejno 1,2,4
no to wyznaczylem sobie z=-b-x-y i zosal mi uklad
xy+y(-b-x-y)+x(-b-x-y)=c
xy(-b-x-y)=-d
z ktorego odpowiednio x oraz y wyznaczyc trudno n ie bylo, potem postac y zaleznie od x przeksztalcilem tak aby pozbyc sie niewygodnego pierwiastka podstawilem do postaci x i ku memu zdziwieniu jako rozwiazanie (wspieralme sie matlabem) uzyskalem dokladna postac wzorow cardana :O

pytanie zatem moje brzmi tak, czy tak samo latwo bedzie z wzorami ferrariego ? i co z wyzszymi stopniami ? bo ponoc jest dowod ze wyzej sie nie da ?

[Rogal]

Cóż powiem, Zajmowałem się i tym, i wiem, że rozpisanie współczynników w zależności od pierwiastków równania (wzory Viete'a) niewiele daje, bo otrzymuje się równanie o danym stopniu n, w tym przypadku sześcienne. Jedyne co można zastosować, to sprytne podstawienia, które zamienią nam równanie n-tego stopnia na n-1, co jest właśnie istotą wszystkich wzorów ogólnych, począwszy od rozwiązywania trójmianu kwadratowego. Z tym Ferrarim jest ciekawiej, bo oficjalnie on podał wieloniam sześcienny, którego pierwiastki w odpowiedniej kombinacji dają cztery pierwiastki wielomianu czwartego stopnia, ale nie wiem jak on ten wielomian sześcienny znalazł. Nic jednak jeszcze straconego . A jeżeli posiłkowałeś się matlabem, to zdaje mi się, że on ma te wzory Cardana zapisane na wieczny użytek, podobnie jak Ferrariego, a to, że wyższych stopni w ogólnym przypadku wzorów podać się nie da, to nie tylko Ciebie trapi .

[bisz]

nie do konca tak matlabowo bo ta postac byla zlozona postacia trojmianu kwadratowego.

[Mariusz M]

bisz, jeżeli samodzielnie wyznaczyłeś wzór na pierwiastki równania kwadratowego to
ze wzorami Ferrariego nie powinieneś mieć problemu bo wyznaczasz je analogicznie

Sprowadzasz równanie do postaci różnicy kwadratów a później do iloczynu dwóch trójmianów

1. Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę równania
2. Uzupełniasz lewą stronę równania do kwadratu zgodnie ze
wzorami skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
(dodajesz stronami odpowiedni wyraz)
3. Uzupełniasz prawą stronę równania do kwadratu
Teraz nie korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia
tylko z tego że trójmian kwadratowy jest kwadratem gdy
jego wyróżnik jest równy zero
Aby obliczyć wyróżnik prawej strony wstawiasz nową niewiadomą
tak aby lewa strona nadal była kwadratem
(dodajesz stronami odpowiednie wyrazy
zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia na kwadrat sumy)
Po przyrównaniu wyróżnika do zera otrzymujesz równanie trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia sprowadzasz do wzorów Viete'a równania kwadratowego
odpowiednim podstawieniem (korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy)
(o podstawieniu tym wspomniał @Rogal)
Po rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymujesz pierwiastek równania trzeciego stopnia
zwanego równaniem rozwiązującym
Znaleziony pierwiastek równania trzeciego stopnia wstawiasz do równania czwartego stopnia
w miejsce wprowadzonej niewiadomej
4. Teraz gdy obydwie strony równania są kwadratami korzystasz ze wzoru skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów
Otrzymujesz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych które rozkładasz w podobny sposób
albo z użyciem wyróżnika

Pierwiastki równań wyższych stopni możesz znaleźć numerycznie np metoda Bairstowa
lub korzystając z funkcji specjalnych
Gdyby były opracowane dobre metody szukania wartości własnych macierzy
to szukanie pierwiastków równań wielomianowych można sprowadzić do szukania
wartości własnych (obecnie są takie metody jak rozkład QR , metoda potęgowa)