Nie wykonując dzielenia,oblicz resztę z dzielenia wielomianu

Daro0071 · Post autor: **Daro0071** » 4 gru 2007, o 20:20

NIe wykonując dzielenia,oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez dwumian q.

a) \(\displaystyle{ w(x)= x^3+5x^2-7x+9,q(x)=x-1}\)

b)\(\displaystyle{ w(x)=x^4-4x^3-7x^2+3x-20,q(x)=x+2}\)

Nie wiem jak sie do tego zabrać proszę o jak najłatwiejsze wytłumaczenie przykładów

Dargi · Post autor: **Dargi** » 4 gru 2007, o 20:27

Mając dzielnik postaci \(\displaystyle{ Q(x)=x-a}\)
Należy zauważyć że \(\displaystyle{ R=W(a)}\) Cała w tym filozofia :]

Daro0071 · Post autor: **Daro0071** » 4 gru 2007, o 20:31

Heh. tylko tu jest cały problem że ja tej filozofii nie rozumiem

Dargi · Post autor: **Dargi** » 4 gru 2007, o 20:38

No dla przykładu przykład pierwszy,
Jak widać \(\displaystyle{ a=1}\) więc:
\(\displaystyle{ R=W(1)=1+5-7+9=8}\)

Daro0071 · Post autor: **Daro0071** » 4 gru 2007, o 20:42

Dargi chyba mnie zabijesz ale nadal nie rozumiem skąd wzieło sie tobie a=1 jak to wyliczyłeś, wiem ze jestem ciemny, ale próbuje zrozumieć tą .... matematyke

Dargi · Post autor: **Dargi** » 4 gru 2007, o 20:45

Masz dzielnik \(\displaystyle{ x-1}\) który równa się \(\displaystyle{ x-a}\)
więc \(\displaystyle{ x-1=x-a\iff x-x+a=1\iff a=1}\)
Prościej się nie da

Daro0071 · Post autor: **Daro0071** » 4 gru 2007, o 20:55

To czy drugi przykład będzie wyglądał tak:

\(\displaystyle{ R=W(2) 4-7-3-20=-26}\)

Dargi · Post autor: **Dargi** » 4 gru 2007, o 21:03

Daro0071, \(\displaystyle{ x-a=x+2\iff a=-2}\) spróbuj jeszcze raz

Daro0071 · Post autor: **Daro0071** » 4 gru 2007, o 21:07

\(\displaystyle{ R=W(-2)-2+ 4-7-3-20=-28}\)

Jezeli napisałem źle to znaczy że nadal nie rozumiem i mnie zaraz szlak trafi heh

Dargi · Post autor: **Dargi** » 4 gru 2007, o 21:15

Daro0071, masz \(\displaystyle{ W(x)}\) nie? I to -2 podstawiasz za x

bziuta · Post autor: **bziuta** » 7 gru 2007, o 10:39

A jak, nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x ^{5} + 2x ^{4} + 3x +1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = (x + 2 )(x - 1)}\) ??

Zadanie pochodzi ze zbioru zadań Andrzeja Kiełbasy "Matura z Matematyki 2005-..., poziom podstawowy i rozszerzony, część 1", dział 6. Wielomiany, zad. 6.13 b.
Z góry dziękuję za pomoc.

Dargi · Post autor: **Dargi** » 7 gru 2007, o 14:08

Jak wiadomo wielomian przedstawia się w następującej formie:
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)Q(x)+R(x)\iff W(x)=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b}\)
Teraz wyznaczasz ile wynosi \(\displaystyle{ W(1)}\) oraz \(\displaystyle{ W(-2)}\)
Dla \(\displaystyle{ W(x)=x^5+2x^4+3x+1}\) i potem dla \(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b}\)
Potem do siebie przyrównujesz wyznaczając a i b otrzymasz resztę w wielomianu.

bziuta · Post autor: **bziuta** » 7 gru 2007, o 16:01

Ooo, wyszło Bardzo dziękuję, nigdzie tego nie mogłam znaleźć, a sama bym na to nie wpadła
A skąd wiedziałeś że \(\displaystyle{ R(x) = ax + b}\) ? Bez względu na stopień wielomianu tak jest?? A jak przedstawiałoby się \(\displaystyle{ R(x)}\), gdybym miała np. \(\displaystyle{ P(x) = (x-1) (x+2) (x-3)}\) , czyli iloczyn trzech dwumianów?

Dargi · Post autor: **Dargi** » 7 gru 2007, o 17:34

Po prostu patrzysz na dzielnik. Na podstawie jego trzeba przypuszczać że reszta jest stopnia niższego. w naszym przypadku dzielnikiem była funkcja kwadratowa dlatego resztę przypuszczamy że jest stopnia niższego czyli funkcją liniową. Tak samo dla wielomianu stopnia 3 to reszta stopnia drugiego ax^2+bx+c. :]

bziuta · Post autor: **bziuta** » 8 gru 2007, o 13:02

Acha, już rozumiem Dzięki Ci wielkie!