Zadanie maturalne. Wyznacz współczynniki wielomianu...

Ka$a · Post autor: **Ka$a** » 20 lis 2007, o 13:14

Zadanie maturalne z Informatora Maturalnego od 2010 roku:

Wielomian \(\displaystyle{ f}\) jest określony wzorem \(\displaystyle{ f(x)=ax ^{4} - 9x ^{3} + 3 ^{2} + 7x + b}\) dla pewnych liczb pierwszych a oraz b. Wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, Oblicz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Próbowałem coś Hornerem i doszedłem do \(\displaystyle{ \frac{81}{16}a - \frac{35}{4} + b = 0}\), ale nie za bardzo wiem co dalej....

Inne zadania maturalne:
matematyka.pl/viewtopic.php?t=49608#198189
matematyka.pl/viewtopic.php?t=49609#198192

Marcinow · Post autor: **Marcinow** » 20 lis 2007, o 17:44

Z Hornera nie wychodzi \(\displaystyle{ 81a -\frac{35}{4} +b =0}\) ale \(\displaystyle{ 81a -\frac{105}{8}+b =0}\), z tego r-nia wynika żerozwiązaniem jest para liczb \(\displaystyle{ \left[ a ; \frac{1}{16} (210 - 81a) \right]}\). Ponieważ liczba pierwsza z def jest liczbą naturalną większą od 1, więc 210 - 81a musi być podzielne przez 16. przy czym 210-81a musi też być dodatnie. Tak więc podstawiamy po kolei w miejsce a kolejne liczby naturalne dodatnie >1, dla których 210 - 81a też jest dodatnie. Sprawdza się tylko dwójka, a do tego 210 - 81*2 = 48, a 16|48, więc widzimy, że a = 2 spełnia dane warunki. Podstawiamy, b wychodzi równe 3. 2 i 3 to liczby pierwsze, więc ostatecznie a=2 i b=3.

Zeratul · Post autor: **Zeratul** » 20 lis 2007, o 17:56

Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu wiemy, że zawsze mają one postać \(\displaystyle{ {p \over q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ q}\) dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.

Tak więc w tym przypadku trójka jest dzielnikiem b, a dwójka dzielnikiem a. Jednak a i b są pierwsze, stąd:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=3 \end{array}}\)
Teraz ewentualnie wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ {3 \over 2}}\) jest faktycznie pierwiastkiem.

osob · Post autor: **osob** » 22 mar 2010, o 18:05

Zeratul pisze: Jednak a i b są pierwsze,

Czy masz tu na myśli, że są to liczby pierwsze ?
Jeśli tak to skąd to wiadomo ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 22 mar 2010, o 18:14

Patrz treść.

Dla mnie od razu \(\displaystyle{ b=1,5a}\)