1) Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x}\) wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 120}\).
2) Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2006^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
3) Udowodnij, źe jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+px+q}\) ma trzy pierwiastki, to \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą ujemną.
dowody
-
Dargi
- Użytkownik
- Posty: 1228
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 253 razy
dowody
1)\(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4)=x(x^2-4)(x^2-1)=x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Jak widzimy mamy iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych więc \(\displaystyle{ W(x)=\frac{(x+2)!}{(x-3)!}}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in(3;+\infty)\vedge N}\)
Jak widzimy mamy iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych więc \(\displaystyle{ W(x)=\frac{(x+2)!}{(x-3)!}}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in(3;+\infty)\vedge N}\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2007, o 01:31 przez Dargi, łącznie zmieniany 1 raz.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
dowody
2) Strony nie przystają \(\displaystyle{ \mod 3}\).
3) Viete. Jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pierwiastkami, to z równania wynika, że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) i wówczas \(\displaystyle{ 0=\left (a+b+c\right )^2=a^2+b^2+c^2+2p}\).
3) Viete. Jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pierwiastkami, to z równania wynika, że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) i wówczas \(\displaystyle{ 0=\left (a+b+c\right )^2=a^2+b^2+c^2+2p}\).