dowód

[LySy007]

Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^6+ax^4+bx^2+c}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), to jest również podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x^2-x+1}\).

[andkom]

To poniżej to tylko pomysł:
Zauważ, że jeśli pomnożymy przez siebie dwa wielomiany i dostaniemy jako wynik jakiś iloczyn (też wielomian), a następnie oba mnożone wielomiany zmienimy w ten sposób, że zmienimy im znaki współczynników przy x w potęgach nieparzystych, to iloczyn zmieni się w ten sam sposób (to znaczy zmianie ulegną znaki współczynników przy x w potęgach nieparzystych).
Zauważ, że wielomian W ma współczynniki przy x w potęgach nieparzystych równe 0, a więc zmiana taka nie zmienia W, za to zmienia wielomian \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) na \(\displaystyle{ x^2-x+1}\).
Zatem jeśli \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x+1)(x^4+dx^3+ex^2+fx+g)}\), to \(\displaystyle{ W(x)=(x^2-x+1)(x^4-dx^3+ex^2-fx+g)}\)


A teraz dowód:
Oznaczmy \(\displaystyle{ P(x)=x^2+x+1}\). Wówczas \(\displaystyle{ P(-x)=x^2-x+1}\).
Jeśli istnieje wielomian Q taki, że \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x+1)Q(x)=P(x)Q(x)}\), to wtedy
\(\displaystyle{ W(x)=W(-x)=P(-x)Q(-x)=(x^2-x+1)Q(-x)}\)
i dowód jest zakończony.

[LySy007]

Muszę to przemyśleć na spokojnie.