uzasadnienia na podstawie twierdzenia

[LySy007]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^3+x+1}\).

a) Uzasadnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma dodatnich pierwiastków.

b) Uzasadnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma pierwiastków wymiernych.

c)

Twierdzenie:

"Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego"

Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma co najmniej jeden pierwiastek.

[Piotr Rutkowski]

a) dla \(\displaystyle{ x>0}\) po prostu \(\displaystyle{ W(x)>0}\)
b)twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu
c) ja bym uzasadnił z twierdzenia Darboux i tego, że pochodna wielomianu jest większa od zera w całej dziedzinie

[Lorek]

3 tak: skoro W jest 3 stopnia, to korzystając z podanego twierdzenia można go zapisać jako iloczyn wielomianu stopnia 1 i stopnia 2, a wielomian stopnia 1 zawsze ma pierwiastek