wielomian z pierwiastkiem całkowitym

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 17 lis 2007, o 20:23

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+4x+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Znajdź \(\displaystyle{ p}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek całkowity.

andkom · Post autor: **andkom** » 17 lis 2007, o 23:22

Jeśli liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to
\(\displaystyle{ p=-k^3-4k=-k(k^2+4)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, więc \(\displaystyle{ k^2+4=1}\) (niemożliwe, bo \(\displaystyle{ k^2+4\geqslant4}\)) lub \(\displaystyle{ k^2+4=-1}\) (niemożliwe, bo \(\displaystyle{ k^2+4\geqslant4}\)) lub \(\displaystyle{ k=1}\) (niemożliwe, bo wtedy \(\displaystyle{ p=-5}\)) lub \(\displaystyle{ k=-1}\) i wtedy \(\displaystyle{ p=5}\).

Odp.: \(\displaystyle{ p=5}\)

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 18 lis 2007, o 01:01

Dzięki za pomoc.