reszta z dzielenia wielomianu

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 17 lis 2007, o 20:15

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(x^2-3x+1)^{2005}}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(X)=x^2-4x+3}\).

wb · Post autor: wb » 17 lis 2007, o 20:27

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)Q(x)+R(x)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b \\ \\ (x^2-3x+1)^{2005}=(x^2-4x+3)Q(x)+ax+b \\ (x^2-3x+1)^{2005}=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b \\ W(1)=(-1)^{2005}=-1 W(1)=a+b \\ W(3)=1^{2005}=1 W(3)=3a+b}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=-1 \\ 3a+b=1 \end{cases} \\ \\ a=1 \ \ , \ \ b=-2 R(x)=x-2}\)

LySy007 · Post autor: **LySy007** » 17 lis 2007, o 20:43

Dlaczego za resztę przyjmujemy \(\displaystyle{ ax+b}\)?

\(\displaystyle{ W(1)=a+b}\) - chyba tak tam powinno być

I poniżej powinno być chyba \(\displaystyle{ W(3)}\) a nie \(\displaystyle{ w(1)}\).

Szemek · Post autor: **Szemek** » 17 lis 2007, o 20:47

dzieląc przez dany wielomian stopnia n-tego, reszta maksymalnie może być stopnia n-1