Wykaż że dla doweolnej liczby, naturalnej dodatniej n \(\displaystyle{ W(x)= (x-2) ^{2n}+ (x-1) ^{n}}\)jest podzielne przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2} - 3x +2}\)
Za wszelką pomoc z góry dziękuję
Wykaż podzielność wielomianów.
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Wykaż podzielność wielomianów.
\(\displaystyle{ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)}\)
Wystarczy zatem sprawdzić, że zarówno 1, jak i 2 są pierwiastkami wielomianu W.
\(\displaystyle{ W(1)=(1-2)^{2n}+(1-1)^n=(-1)^{2n}+0^n=1}\)
\(\displaystyle{ W(2)=(2-2)^{2n}+(2-1)^n=(0)^{2n}+1^n=1}\)
Jak widać nie wyszło. Podzielność zatem nie zachodzi.
Może miało być \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^{2n}+(x-1)^n-1}\)? Wtedy wszystko wychodzi.
Wystarczy zatem sprawdzić, że zarówno 1, jak i 2 są pierwiastkami wielomianu W.
\(\displaystyle{ W(1)=(1-2)^{2n}+(1-1)^n=(-1)^{2n}+0^n=1}\)
\(\displaystyle{ W(2)=(2-2)^{2n}+(2-1)^n=(0)^{2n}+1^n=1}\)
Jak widać nie wyszło. Podzielność zatem nie zachodzi.
Może miało być \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^{2n}+(x-1)^n-1}\)? Wtedy wszystko wychodzi.