Wielomian \(\displaystyle{ x^3+mx^2-5x+n}\) jest podzielny przez dwumian x+2 a przy dzieleniu przez x+1 daje reszte 8 znajdz pierwiastki tego wielomianu...
================================================================
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 + mx^2 -5x + n) : (x+2) = x^2 - (m-2)x -1 -2m \\
\underline{-x^3 + 2x^2} & & \\
\qquad (m-2)x^2 - 5x +n & & \\
\qquad \ \ \underline{-(m-2)x^2 - 2mx+4x} & &\\
\qquad \qquad \qquad -x - 2mx + n & & \\
\qquad \qquad \quad \underline{ x+2mx+2+4m} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad 2+4m+n & & \\
\end{array}}\)
Aby -2 było pierwiastkiem to
\(\displaystyle{ 2+4m+n=0 =>n=-2-4m}\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^3 + mx^2 -5x + n) : (x+1) = x^2 - (m-1)x -4 -m \\
\underline{-x^3 - x^2} & & \\
\qquad (m-1)x^2 - 5x +n & & \\
\qquad \ \ \underline{-(m-1)x^2 - mx+x} & &\\
\qquad \qquad \qquad (-4-m)x + n & & \\
\qquad \qquad \quad \underline{ -(-4-m)x+4+m} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad 4+m+n & & \\
\end{array}}\)
Wiadomo po podzieleniu przez x+1 reszta jest rowna 8
\(\displaystyle{ 4+m+n=8 =>n=4-m}\)
porownujac n-y
\(\displaystyle{ -2-4m=4-m}\)
\(\displaystyle{ -3m=6}\)
\(\displaystyle{ m=-2}\)
\(\displaystyle{ n=6}\)
wstawiajac n i m do \(\displaystyle{ x^2 + (m-2)x -1 -2m}\)
mamy \(\displaystyle{ x^2 -4x +3}\)
z delty mozna obliczyc pozostale dwa peirwiastki
czyli 1 i 3 a trzecim jest znany z tresci zadania -2