1. Uzasadnij że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x}\) wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x}\) jest liczba podzielna przez 120.
2. Uzasadnij że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2006^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
3. Udowodnij że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+px+q}\) ma trzy pierwiastki, to \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą ujemną.
Proszę o rozwiązanie / wskazówki.
Moje postępy:
W zadaniu pierwszym dochodzę do tego, że wielomian można zapisać tak: (x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2). Powinienem tego jakoś dowieść, czy wystarczy napisać że iloczyn kolejnych pięciu liczb naturalnych jest zawsze podzielna przez 120?
Uzasadnij / udowodnij - wielomiany
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Uzasadnij / udowodnij - wielomiany
Zadanie 1
\(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x = x[x^4-5x^2+4]=x[(x^2-1)(x^2-4)]=x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Dla każdych pięciu kolejnych liczb naturalnych, co najmniej dwie liczby podzielne są przez 2, co najmniej jedna przez 3, co najmniej jedna przez 4 i co najmniej jedna przez 5.
\(\displaystyle{ 2 3 4 5 =120}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^5-5x^3+4x = x[x^4-5x^2+4]=x[(x^2-1)(x^2-4)]=x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Dla każdych pięciu kolejnych liczb naturalnych, co najmniej dwie liczby podzielne są przez 2, co najmniej jedna przez 3, co najmniej jedna przez 4 i co najmniej jedna przez 5.
\(\displaystyle{ 2 3 4 5 =120}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 maja 2006, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wałcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Uzasadnij / udowodnij - wielomiany
Dzięki, a co z następnymi? W trzecim zadaniu wykorzystałbym fakt, że funkcja musi być rosnąca, malejąca, a potem znów rosnąca - ale nie wiem za bardzo jak to zrobić.