Mam problem z zadaniem.
Wiadomo że \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2}, x_{3}}\) są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+x+1=0}\)
Ułóż równanie, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ y_{1}=x_{1}x _{2}, y_{2}=x_{1}x_{3}, y_{3}=x _{2}x_{3}}\)
Z góry dziękuje za pomoc
problem z równaniem
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
problem z równaniem
Korzystamy z wzorów Viete'a
Mamy:
\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1\\
y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2x_3)=9\cdot(-1)=-9\\
y_1y_2y_3=(x_1x_2x_3)^2=(-1)^2=1}\)
Stąd (znów wzory Viete'a) \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3}\) są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ y^3-y^2-9y-1=0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1\\
y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2x_3)=9\cdot(-1)=-9\\
y_1y_2y_3=(x_1x_2x_3)^2=(-1)^2=1}\)
Stąd (znów wzory Viete'a) \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3}\) są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ y^3-y^2-9y-1=0}\)