zadanie. Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru p, dla którego równanie
\(\displaystyle{ x^{3} - 5^{2} +3px-3=0}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie będące liczbą całkowitą?
Zadanie z parametrem
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Zadanie z parametrem
skorzystam z twierdzenia o pierwiaskach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych
z twierdzenia tego otrzymujemy że pierwiastki tego wielomianu (jeśli istnieją) będą należały do zbioru \(\displaystyle{ [ 1, 3]}\)
sprawdzamy więc te wartości
\(\displaystyle{ W(-1)=0 \iff (-1)^3-5 (-1)^2-3p-3=0 p=-3}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0 \iff (1)^3-5 (1)^2+3p-3=0 p=7/3 Z}\)
\(\displaystyle{ W(3)=0 \iff (3)^3-5 (3)^2+9p-3=0 p=2/3 Z}\)
\(\displaystyle{ W(-3)=0 \iff (-3)^3-5 (-3)^2-9p-3=0 p=25/3 Z}\)
I otrzymujemy że tylko dla p=-3 wielomian ten ma pierwiastek całkowity
z twierdzenia tego otrzymujemy że pierwiastki tego wielomianu (jeśli istnieją) będą należały do zbioru \(\displaystyle{ [ 1, 3]}\)
sprawdzamy więc te wartości
\(\displaystyle{ W(-1)=0 \iff (-1)^3-5 (-1)^2-3p-3=0 p=-3}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0 \iff (1)^3-5 (1)^2+3p-3=0 p=7/3 Z}\)
\(\displaystyle{ W(3)=0 \iff (3)^3-5 (3)^2+9p-3=0 p=2/3 Z}\)
\(\displaystyle{ W(-3)=0 \iff (-3)^3-5 (-3)^2-9p-3=0 p=25/3 Z}\)
I otrzymujemy że tylko dla p=-3 wielomian ten ma pierwiastek całkowity