Wzory Viete'a dla wielomianów

[Majcherek]

Zadanie 1. Wyznacz takie wartości m dla których równanie \(\displaystyle{ x^{3} - \left(m+1 \right)x^{2} + \left( m-3\right) x + 3 = 0}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Zadanie 2. Wyznacz takie wartości m, dla których pierwiastki równania \(\displaystyle{ 3x^{3} - 3mx^{2} + 3x - 2 =0}\) spełniają równość \(\displaystyle{ x _{1}^{3}+x _{2}^{3}+x _{3}^{3}=0}\)

Zadanie 3. Liczby \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} , x_{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{3}-3x+1=0}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ x_{1}^{8}+x_{2}^{8}+x_3^{8}}\)

Z góry dziękuję za rozwiązanie

[Lady Tilly]

1)
zauważ, że liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania.
Otrzymasz wiec takie rówanie \(\displaystyle{ (x-1)(x^{2}-mx-3)=0}\)

[Majcherek]

Proszę jeszcze o rozwiązanie pozostałych dwóch.

[robin5hood]

3.
\(\displaystyle{ 0 = x_{1}^5 W(x_{1}) + 3x_{1}^3 W(x_{1}) - x_{1}^2 W(x_{1}) + 9x_{1}W(x_{1}) -6W(x_{1}) = x_{1}^8 - 28x_{1}^2 + 27x_{1} -6}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x_{1}^8 + x_{2}^8 + x_{3}^8 = 28(x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2) - 27(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 18 = 28( (x_{1}+x_{2}+x_{3})^2 - 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1}) ) - 27(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 18}\)
I teraz ze wzorów Viete'a