wykazac nierównosc
Wykazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ n \in\NN_{+}}\) i dla dowolnych
\(\displaystyle{ 0 \leq x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n} \leq 1}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ (x_{1} + x_{2} + x_{3} + .... + x_{n} +1)^2 \geq 4(x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + .... + x_{n}^2)}\)
nierówność
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
pe2de2
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 49 razy
nierówność
sumujesz sobie to co jest w nawiasach (pierwszy plus ostatni wyraz ciągu razy liczba wyrazów przez 2)
\(\displaystyle{ Sn=(X_{1}+X_{2})*\frac{n}{2}}\)
dla nawiasu pierwszego otrzymujemy
\(\displaystyle{ ((X_{1}+X_{2})*\frac{n}{2}+1)^{2}}\)
a dla drugiego
\(\displaystyle{ 4((X_{1}^{2}+X_{2}^{2})*\frac{n}{2})}\)
no i masz mierównosć
\(\displaystyle{ ((X_{1}+X_{2})*\frac{n}{2}+1)^{2} \geq 4((X_{1}^{2}+X_{2}^{2})*\frac{n}{2})}\)
metodą najgorszych możliwości (jak zwał tak zwał) za x1 przyjmujesz 0 za za xn przyjmujesz 1 (z założenia)
i dostajesz
\(\displaystyle{ (\frac {(0+1)n}{2}+1)^{2} \geq 4(\frac {(0+1)n}{2})}\)
wymnażasz sobie
\(\displaystyle{ [\frac{n+1}{2}+1]^{2} \geq 2n}\)
\(\displaystyle{ [\frac{n+3}{2}]^{2} \geq 2n}\)
no i dalej pozostaje spotęgowanie licznika i chyba nie ma juz wątpliwosci
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+6n+9}{4} \geq 2n}\)
\(\displaystyle{ Sn=(X_{1}+X_{2})*\frac{n}{2}}\)
dla nawiasu pierwszego otrzymujemy
\(\displaystyle{ ((X_{1}+X_{2})*\frac{n}{2}+1)^{2}}\)
a dla drugiego
\(\displaystyle{ 4((X_{1}^{2}+X_{2}^{2})*\frac{n}{2})}\)
no i masz mierównosć
\(\displaystyle{ ((X_{1}+X_{2})*\frac{n}{2}+1)^{2} \geq 4((X_{1}^{2}+X_{2}^{2})*\frac{n}{2})}\)
metodą najgorszych możliwości (jak zwał tak zwał) za x1 przyjmujesz 0 za za xn przyjmujesz 1 (z założenia)
i dostajesz
\(\displaystyle{ (\frac {(0+1)n}{2}+1)^{2} \geq 4(\frac {(0+1)n}{2})}\)
wymnażasz sobie
\(\displaystyle{ [\frac{n+1}{2}+1]^{2} \geq 2n}\)
\(\displaystyle{ [\frac{n+3}{2}]^{2} \geq 2n}\)
no i dalej pozostaje spotęgowanie licznika i chyba nie ma juz wątpliwosci
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+6n+9}{4} \geq 2n}\)