rozwiaż równanie
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
rozwiaż równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{x^2} + \sqrt{x^3} + ..... + \sqrt{x^{1991}} = 1991 x^{498}}\)
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
rozwiaż równanie
Zauważmy, że równość tę spełnia \(\displaystyle{ x=0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x>0}\).
Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną tj. \(\displaystyle{ a_{1} + a_{2}+.... +a_{n} q n \sqrt[n]{ a_{1} a_{2} ... a_{n} }}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{ x^2} + \sqrt{ x^3} +... + \sqrt{ x^{1991}} =x^{ \frac{1}{2}} + x^{ \frac{2}{2}} + x^{ \frac{3}{2}} + ... x^{ \frac{1991}{2}} q 1991 \sqrt[1991]{ x^{ \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} +... + \frac{1991}{2} }} \\ = 1991 x^{ \frac{ (1+2+3+...+1991)}{2 1991}} = 1991 x^{ \frac{1992 1991}{4 1991} }= 1991 x^{498}}\)
Ponieważ równość w nierówności a-g zachodzi wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\), więc \(\displaystyle{ x=x^2=x^3=....=x^{1991}}\), więc \(\displaystyle{ x=1}\).
Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną tj. \(\displaystyle{ a_{1} + a_{2}+.... +a_{n} q n \sqrt[n]{ a_{1} a_{2} ... a_{n} }}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{ x^2} + \sqrt{ x^3} +... + \sqrt{ x^{1991}} =x^{ \frac{1}{2}} + x^{ \frac{2}{2}} + x^{ \frac{3}{2}} + ... x^{ \frac{1991}{2}} q 1991 \sqrt[1991]{ x^{ \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} +... + \frac{1991}{2} }} \\ = 1991 x^{ \frac{ (1+2+3+...+1991)}{2 1991}} = 1991 x^{ \frac{1992 1991}{4 1991} }= 1991 x^{498}}\)
Ponieważ równość w nierówności a-g zachodzi wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}\), więc \(\displaystyle{ x=x^2=x^3=....=x^{1991}}\), więc \(\displaystyle{ x=1}\).