Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} =4\\y=x+k\end{cases}}\)
zbadaj liczbę rozwiązań
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
zbadaj liczbę rozwiązań
Układ ten ma tyle samo rozwiązań, co równanie
\(\displaystyle{ x^2+(x+k)^2=4}\), czyli co równanie
\(\displaystyle{ 2x^2+2kx+(k^2-4)=0}\).
Liczbę rozwiązań tego równania poznamy licząc deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=(2k)^2-4\cdot2\cdot(k^2-4)=32-4k^2=-4(k+2\sqrt2)(k-2\sqrt2)}\)
Stąd: Układ ma jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ k=2\sqrt2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2\sqrt2}\)
Układ ma dwa rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ -2\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ x^2+(x+k)^2=4}\), czyli co równanie
\(\displaystyle{ 2x^2+2kx+(k^2-4)=0}\).
Liczbę rozwiązań tego równania poznamy licząc deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=(2k)^2-4\cdot2\cdot(k^2-4)=32-4k^2=-4(k+2\sqrt2)(k-2\sqrt2)}\)
Stąd: Układ ma jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ k=2\sqrt2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2\sqrt2}\)
Układ ma dwa rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ -2\sqrt2}\)