dwa parametry, jeden pierwiastek podany

tomek_sieradz · Post autor: **tomek_sieradz** » 28 paź 2007, o 18:43

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a,b C}\) , liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem równania:
\(\displaystyle{ 3x^{3}+ax^{2}+bx+12=0}\)?

nie umiem tego rozwiązać, a nauczycielka w liceum profilowanym wymaga na sprawdzianach takiego zadania. niestety.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 28 paź 2007, o 19:15

Podstaw do równania za \(\displaystyle{ x\ =\ 1+\sqrt{3}}\), a następnie pogrupuj wyrazy, które są całkowite, i te, które zawierają \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Otzrymasz dwa równania liniowe na współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)...

wb · Post autor: wb » 28 paź 2007, o 19:19

\(\displaystyle{ 3(1+\sqrt3)^3+a(1+\sqrt3)^2+b(1+\sqrt3)+12=0 \\ 3(1+3\sqrt3+9+3\sqrt3)+a(1+2\sqrt3+3)+b(1+\sqrt3)+12=0 \\ 3(10+6\sqrt3)+a(4+2\sqrt3)+b(1+\sqrt3)+12=0 \\ 30+18\sqrt3+4a+2a\sqrt3+b+b\sqrt3+12=0 \\ (18+2a+b)\sqrt3+4a+b+42=0 \\ 18+2a+b=0 4a+b+42=0}\)
Rozwiązując ostatni układ otrzymuje się rozwiązanie: a=-12, b=6.