uklady rownan wyzszych stopni | zadanie z rowan wielomianow

[Paweł]

1)Rozwiąż uklad rownan :

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^2+y^2 + z^2 = 66\\xy +xz = 11\\x + y + z = 12\end{array}}\)


2)Udowodnij , ze jezeli rownanie \(\displaystyle{ x^3 + px + q}\) ma pierwiastek podwojny , to \(\displaystyle{ (\frac{p}{3})^3 + (\frac{q}{2})^2 = 0}\)

3)Dla jakich wartosci a i b rownanie \(\displaystyle{ x^3 + 4x^2 + ax + b = 0}\) ma podwojny pierwiastek \(\displaystyle{ x_1 = 2}\)?

[_el_doopa]

1)
\(\displaystyle{ 144=(x+y+z)^2=66+2(xy+xz)+2yz=88+2yz \rightarrow yz=28}\)
ponadto:
\(\displaystyle{ {11 \over x}=y+z=12-x}\)
\(\displaystyle{ 11=12x-x^2}\)
\(\displaystyle{ x=1 ,x=11}\)
ale
\(\displaystyle{ 66=x^2+y^2+z^2>x^2}\)
stad \(\displaystyle{ x=1}\)
mamy jescze:
\(\displaystyle{ y+z=11}\)
\(\displaystyle{ yz=28}\)
stad:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,4,7),(1,7,4)}\)
2)pierwiastek jest podwojny jak jest pierwiastkeim pochodnej:
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)
\(\displaystyle{ 3x^2+p=0}\)
stad:
\(\displaystyle{ p=-3x^2}\)
\(\displaystyle{ q=2x^3}\)
co daje teze

[Paweł]

Dzieki wielkie , a czy 2 nie da rozwiazac sie nie korzystajac z pochodnej ?

[liu]

czy tam w tym pierwszym nie przydaloby sie sprawdzic jeszcze x=0? Nie robilem tego tylko mi sie tak narzucilo na pierwszy rzut oka

EDIT: 0=11, tak tak, zle spojrzalem, przeciez oczywiste, ze nie moze byc 0 =)

[Skrzypu]

Skoro równanie ma pierwiastek podwójny to jest postaci:

\(\displaystyle{ (x-a)^2 (x-b)}\)
\(\displaystyle{ (x^2-2ax+a^2) (x-b)}\)
\(\displaystyle{ x^3-2ax^2+a^2x-bx^2+2abx-a^2b}\)
\(\displaystyle{ x^3-x^2(2a+b)+x(a^2+2ab)-a^2b}\)

Wspólczynniki przy odpowiednich x muszą być równe, czyli

\(\displaystyle{ -2a-b=0}\)
\(\displaystyle{ a^2+2ab=p}\)
\(\displaystyle{ -a^2b=q}\)

\(\displaystyle{ b=-2a}\)
\(\displaystyle{ a^2+2a (-2a)=p}\)
\(\displaystyle{ -a^2 (-2a)=q}\)

\(\displaystyle{ b=-2a}\)
\(\displaystyle{ a^2-4a^2=p}\)
\(\displaystyle{ 2a^3=q}\)

\(\displaystyle{ p=-3a^2}\)
\(\displaystyle{ q=2a^3}\)

Dalej już łatwo

[Paweł]

Dzieki , zawsze mozna na Was liczyc

BTW : Bez urazy , ale jednego nie rozumiem LIU piszesz "Nie robilem ..." czyli jakbys byl facetem a masz znaczek samicy . Wiec jak to w koncu jest

[g]

skoro ma osiem lat to sie pewnie jeszcze do konca nie umie okreslic w tej kwestii