dowód istnienia pierwiastka rzeczywistego

[wojciechfil20]

W dowolne puste nawiasy studenci A i B wpisują na przemian współczynniki rzeczywiste wielomianu
\(\displaystyle{ x^{10}+()x^{9}+()x^{8}+()x^{7}+()x^{6}+()x^{5}+()x^{4}+()x^{3}+()x^{2}+()x+1 }\)
Jeżeli otrzymany wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych, to wygrywa student A. W przeciwnym przypadku wygrywa student B. Wpisywanie współczynników rozpoczął student A. Pokazać, że student B ma strategię wygrywającą.

[piasek101]

B może wiedzieć jaki warunek, dotyczący tych dziewięciu liczb, da istnienie pierwiastka tego wielomianu i go wykorzystać.
A Ty znasz taki warunek ?

[wojciechfil20]

niestety nie znam

[piasek101]

Czekaj dałem ciała - to o czym myślałem zachodzi gdy B ostatni by wpisywał, tak nie jest. Zatem moja wersja jest błędna.

[Wojciech_Domin]

Rozważmy możliwe końcówki (przez końcówkę rozumiem dwa ostatnie ruchy) takiej gry:
a) zostały dwie potęgi o parzystych wykładnikach
b) została jedna potęga o parzystym wykładniku i jedna o nieparzystym wykładniku
c) zostały dwie potęgi o nieparzystych wykładnikach
Zauważmy, jeszcze kilka przydatnych rzeczy:
1. \(W(0)=1\)
2. \(\exists_{x\in\mathbb{R}} W(x)\le 0 \Leftrightarrow \) Student B wygrał.
Niech nasz wielomian przed wykonaniem dwóch ostatnich ruchów to \(P\).
Teraz możemy zacząć analizować przypadki.
W przypadku a) istnieje strategia wygrywająca dla studenta A, ale łatwo można
udowodnić, że student B grając mądrze
zawsze będzie w stanie zapobiec powstaniu takiej sytuacji.
(Po prostu w każdym ruchu oprócz ostatniego ślepo wpisuje coś do nawiasików
obok parzystej potęgi).
b)
Niech \( W(x) = P(x) + ax^{n} + bx^{m}\), gdzie n jest parzyste, a m nie.
Zatem \(W(1)=P(1)+a+b\) oraz \(W(-1)=P(-1)+a-b\).
Student B "ustawia" wartość \(a\) na \(-\frac{P(1)+P(-1)}{2}\).
W ten sposób gwarantujemy, że \(W(-1)+W(1)=0\).
Zatem \(W(-1)\le 0 \lor W(1)\le 0\).
Korzystając z (2), stwierdzamy, iż student B wygrał.
c)
Niech \( W(x) = P(x) + ax^{n} + bx^{m}\), gdzie \(n\ge m+2\).
Zatem \(W(-1)=P(-1)-a-b\) oraz \(W(2)=P(2)+2^{n}a+2^{m}b\).
By udowodnić, że student B wygrywa, załóżmy, że wygrywa student A.
Wtedy \(W(-1)\gt 0 \land W(2)\gt 0\).
Stąd m. in. otrzymujemy, iż \(-b \lt \frac{P(2)+2^{n}a}{2^{m}}\).
Zatem \(W(-1)=P(-1)-a-b\lt P(-1)-a+\frac{P(2)+2^{n}a}{2^{m}}=P(-1)+\frac{P(2)}{2^{m}}+(2^{n-m}-1)a\).
Jeśli student B zagwarantuje, że \(P(-1)+\frac{P(2)}{2^{m}}+(2^{n-m}-1)a=0\), to wygra.
No a może to zrobić, bo wystarczy, że wyliczy z powyższego równania liniowego "właściwe" a.