Wyznaczanie dziedziny funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 2 razy
Wyznaczanie dziedziny funkcji
Witam, chciałbym się dowiedzieć, jak właściwie wyznaczać dziedziny funkcji. Na przykładach podam, czego nie wiem:
a)
\(\displaystyle{ y= \frac{x+2}{ x^{2}-2x }- \frac{1}{x+3} }\)
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \wedge x+3 \neq 0}\) czy
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \vee x+3 \neq 0}\)
b)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x+2}+ \sqrt{5-x} }\)
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \wedge 5-x \ge 0}\) czy
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \vee 5-x \ge 0}\)
c)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{ x^{2} }{x-1} } }\)
\(\displaystyle{ D: \frac{ x^{2} }{x-1} \ge 0 \wedge x \neq 1}\)
Czy istnieje taka własność, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0 \wedge b \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee a<0 \wedge b<0}\) ?
Wtedy byśmy mieli:
\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0 \wedge x-1 \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee }\) \(\displaystyle{ x^{2}<0 \wedge x-1<0}\)
Tylko wtedy wyjdą dwa przedziałyz z uwzględnieniem \(\displaystyle{ x \neq 1}\)są to
\(\displaystyle{ x>1}\) i \(\displaystyle{ x<0}\)
I nie wiem, czy je połączyć jako sumę przedziałów, bo części wspólnej nie mają, byłby zbiór pusty?
Proszę o wyjaśnienie głębsze tego tematu, gdyż w podręczniku podają tylko, że wyznaczając dziedzinę liczba podpierwiastkowa jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) i w ułamku mianownik musi być \(\displaystyle{ \neq 0}\).
Natomiast nie wiem, jaka jest zasada łączenia przedziałów lub elementów, gdy ich jest więcej, i kiedy ma być część wspólna a kiedy suma przedziałów.
a)
\(\displaystyle{ y= \frac{x+2}{ x^{2}-2x }- \frac{1}{x+3} }\)
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \wedge x+3 \neq 0}\) czy
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \vee x+3 \neq 0}\)
b)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x+2}+ \sqrt{5-x} }\)
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \wedge 5-x \ge 0}\) czy
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \vee 5-x \ge 0}\)
c)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{ x^{2} }{x-1} } }\)
\(\displaystyle{ D: \frac{ x^{2} }{x-1} \ge 0 \wedge x \neq 1}\)
Czy istnieje taka własność, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0 \wedge b \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee a<0 \wedge b<0}\) ?
Wtedy byśmy mieli:
\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0 \wedge x-1 \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee }\) \(\displaystyle{ x^{2}<0 \wedge x-1<0}\)
Tylko wtedy wyjdą dwa przedziałyz z uwzględnieniem \(\displaystyle{ x \neq 1}\)są to
\(\displaystyle{ x>1}\) i \(\displaystyle{ x<0}\)
I nie wiem, czy je połączyć jako sumę przedziałów, bo części wspólnej nie mają, byłby zbiór pusty?
Proszę o wyjaśnienie głębsze tego tematu, gdyż w podręczniku podają tylko, że wyznaczając dziedzinę liczba podpierwiastkowa jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) i w ułamku mianownik musi być \(\displaystyle{ \neq 0}\).
Natomiast nie wiem, jaka jest zasada łączenia przedziałów lub elementów, gdy ich jest więcej, i kiedy ma być część wspólna a kiedy suma przedziałów.
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
A czy rozumiesz różnicę pomiędzy znaczkami \(\displaystyle{ \land}\) i \(\displaystyle{ \lor}\)? I czy znasz ich znaczenie? Bo to wystarczy do odpowiedzi na Twoje pytanie - bez tego to będzie magia znaczków.Damieux pisze: ↑3 lip 2022, o 22:33 a)
\(\displaystyle{ y= \frac{x+2}{ x^{2}-2x }- \frac{1}{x+3} }\)
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \wedge x+3 \neq 0}\) czy
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \vee x+3 \neq 0}\)
b)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x+2}+ \sqrt{5-x} }\)
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \wedge 5-x \ge 0}\) czy
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \vee 5-x \ge 0}\)
Nie. Ale tu wystarczy pomyśleć: skoro licznik jest zawsze nieujemny, to co trzeba założyć o mianowniku, żeby ułamek był nieujemny?Damieux pisze: ↑3 lip 2022, o 22:33 c)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{ x^{2} }{x-1} } }\)
\(\displaystyle{ D: \frac{ x^{2} }{x-1} \ge 0 \wedge x \neq 1}\)
Czy istnieje taka własność, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0 \wedge b \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee a<0 \wedge b<0}\) ?
A spróbowałeś się nad tym zastanowić? Bo jak się zastanowisz i zrozumiesz, to będziesz wiedział, a jak nauczysz się "zasady", to poznasz tylko zaklęcie, którego znaczenia nie będziesz znać.Damieux pisze: ↑3 lip 2022, o 22:33 Proszę o wyjaśnienie głębsze tego tematu, gdyż w podręczniku podają tylko, że wyznaczając dziedzinę liczba podpierwiastkowa jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) i w ułamku mianownik musi być \(\displaystyle{ \neq 0}\).
Natomiast nie wiem, jaka jest zasada łączenia przedziałów lub elementów, gdy ich jest więcej, i kiedy ma być część wspólna a kiedy suma przedziałów.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
Znaczek \(\displaystyle{ \wedge }\) oznacza "i", jeśli mam dwa różne przedziały z tym znaczkiem między nimi, oznacza, że wspólną część wybieram oba przedziałów, tak to rozumiem.
Znaczek \(\displaystyle{ \vee }\) oznacza "lub", czyli mając dwa różne przedziały, będzie to suma jednego plus drugiego przedziału.
Nadal jednak nie wiem który mam wybrać przy powyższych przykładach.
Znaczek \(\displaystyle{ \vee }\) oznacza "lub", czyli mając dwa różne przedziały, będzie to suma jednego plus drugiego przedziału.
Nadal jednak nie wiem który mam wybrać przy powyższych przykładach.
- skąd wiadomo, że licznik jest zawsze nieujemny, mogę mieć przecież taki ułamek \(\displaystyle{ \frac{-4}{-2 \sqrt{2} } }\)Nie. Ale tu wystarczy pomyśleć: skoro licznik jest zawsze nieujemny
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
No to pomyśl, na czym polega określanie dziedziny: ustalasz warunki, które muszą zajść, żeby wyrażenie miało sens liczbowy. Jeżeli jest więcej niż jeden warunek, to czy muszą zajść wszystkie te warunki (pierwszy i drugi i... itd.), czy któryś z tych warunków (pierwszy lub drugi lub... itd.)?
Nie możesz - na tym polega czytanie znaczków ze zrozumieniem. W liczniku masz \(\displaystyle{ x^2}\), a kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
A więc
1) w przypadku równań, z dziedziny wyłączamy wszystkie pierwiastki (rozwiązania) jakie wyjdą i będą to pojedyncze elementy w jednym zbiorze,
dlatego użyjemy \(\displaystyle{ \wedge }\) - przykład a) \(\displaystyle{ D:\RR \setminus \left\{ -3,0,2\right\} }\)
2) w przypadku nierówności znajdujemy część wspólną wszystkich przedziałów, czy sumujemy przedziały...?
1) w przypadku równań, z dziedziny wyłączamy wszystkie pierwiastki (rozwiązania) jakie wyjdą i będą to pojedyncze elementy w jednym zbiorze,
dlatego użyjemy \(\displaystyle{ \wedge }\) - przykład a) \(\displaystyle{ D:\RR \setminus \left\{ -3,0,2\right\} }\)
2) w przypadku nierówności znajdujemy część wspólną wszystkich przedziałów, czy sumujemy przedziały...?
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
ZnakiemA czym różni się ta sytuacja od poprzedniej?
W przypadku wyznaczania na przykład wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|=5 \Leftrightarrow x+2=5 \vee x+2=-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| >5 \Leftrightarrow x+2>5 \vee x+2<-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|<5 \Leftrightarrow x+2<5 \wedge x+2>-5 }\)
I stąd moje rozkminy w wyznaczaniu dziedziny..
Dodano po 2 minutach 39 sekundach:
I skoro są to nierówności to wychodzą nam zazwyczaj przedziały a nie pojedyncze elementy jak w równaniach
Dodano po 5 minutach 7 sekundach:
I znaczki zmieniają postać rzeczy, bo jakby mi w innym przykładzie wyszły na przykład dwa przedziały
1) \(\displaystyle{ (2;+ \infty )}\)
2)\(\displaystyle{ (- \infty ;4)}\)
to stosując sumę mamy R, a stosując iloczyn mamy \(\displaystyle{ (2;4)}\)
dlatego ma to znaczenie
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
Nieprawda, niczym się nie różni.
Ale to nie ma nic wspólnego z zadaniem! W związku z tym Twoje "rozkminy" także - to jest typowe uprawianie magii znaczków: wygląda podobnie, więc może robi się podobnie. Ale magia znaczków nie ma nic wspólnego z matematyką.Damieux pisze: ↑4 lip 2022, o 20:15 W przypadku wyznaczania na przykład wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|=5 \Leftrightarrow x+2=5 \vee x+2=-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| >5 \Leftrightarrow x+2>5 \vee x+2<-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|<5 \Leftrightarrow x+2<5 \wedge x+2>-5 }\)
I stąd moje rozkminy w wyznaczaniu dziedziny..
No i co z tego? Zawsze wychodzi jakiś zbiór.
Ale sytuacja w żaden sposób się nie zmieniła. Powtórzę zatem:Damieux pisze: ↑4 lip 2022, o 20:23 I znaczki zmieniają postać rzeczy, bo jakby mi w innym przykładzie wyszły na przykład dwa przedziały
1) \(\displaystyle{ (2;+ \infty )}\)
2)\(\displaystyle{ (- \infty ;4)}\)
to stosując sumę mamy R, a stosując iloczyn mamy \(\displaystyle{ (2;4)}\)
dlatego ma to znaczenie
JKJan Kraszewski pisze: ↑4 lip 2022, o 10:44No to pomyśl, na czym polega określanie dziedziny: ustalasz warunki, które muszą zajść, żeby wyrażenie miało sens liczbowy. Jeżeli jest więcej niż jeden warunek, to czy muszą zajść wszystkie te warunki (pierwszy i drugi i... itd.), czy któryś z tych warunków (pierwszy lub drugi lub... itd.)?
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
Nie. Zamiast postarać się zrozumieć wymyślasz zaklęcia. Powtórzę po raz trzeci:
JKJan Kraszewski pisze: ↑4 lip 2022, o 10:44No to pomyśl, na czym polega określanie dziedziny: ustalasz warunki, które muszą zajść, żeby wyrażenie miało sens liczbowy. Jeżeli jest więcej niż jeden warunek, to czy muszą zajść wszystkie te warunki (pierwszy i drugi i... itd.), czy któryś z tych warunków (pierwszy lub drugi lub... itd.)?
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
Ale Ciebie interesuje nie sytuacja, kiedy jest źle (wyrażenie nie ma sensu liczbowego), tylko kiedy jest dobrze - w końcu masz wyznaczyć dziedzinę, czyż nie?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 85 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
Chodziło mi o to, że znajdujemy wszystkie sytuacje, gdzie wyrażenie nie ma sensu liczbowego i wyłączamy to z dziedziny.
Dodano po 12 minutach 14 sekundach:
Przykład b.
\(\displaystyle{ x \ge -2}\) \(\displaystyle{ \wedge }\)\(\displaystyle{ x \le 5}\)
Tutaj myślę, że jeśli jeden ze zbiorów podstawię do wzoru to będzie nadal sens liczbowy, bo wyrażenie jest dwuskładnikowe, dlatego wyłączę z dziedziny część wspólną tych dwóch przedziałów.
\(\displaystyle{ D:x \in \left\langle -2;5\right\rangle }\)
Dodano po 3 minutach 3 sekundach:
Przykład a)
Tutaj co do tego jeszcze, to zrozumiałem, że trzeba wyłączyć z dziedziny te liczby, które po podstawieniu dadzą w mianowniku \(\displaystyle{ 0}\).
I tutaj wystarczy, że jeden z nich jest podstawiony, wtedy całe wyrażenie nie ma sensu liczbowego, bo nie dzielimy przez zero.
Dodano po 9 minutach 45 sekundach:
i przykład c)
Z dziedziny wyrzucamy na pewno liczbę \(\displaystyle{ 1}\), bo gdy ją podstawimy, wtedy mianownik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) i nie będzie sensu liczbowego.
Poza tym, w liczniku obojętnie jaką liczbę podstawimy, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej zawsze da liczbę nieujemną. Liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, wtedy będzie miało to sens liczbowy, dlatego jeśli licznik ułamka jest liczbą nieujemną, dlatego też licznik też musi być liczbą nieujemną i wtedy to ma sens liczbowy.
Dlatego
\(\displaystyle{ D:x-1 \ge 0 \wedge x \neq 0 }\)
\(\displaystyle{ D:x \in \left( 1;+ \infty \right) }\)
Dodano po 12 minutach 14 sekundach:
Przykład b.
\(\displaystyle{ x \ge -2}\) \(\displaystyle{ \wedge }\)\(\displaystyle{ x \le 5}\)
Tutaj myślę, że jeśli jeden ze zbiorów podstawię do wzoru to będzie nadal sens liczbowy, bo wyrażenie jest dwuskładnikowe, dlatego wyłączę z dziedziny część wspólną tych dwóch przedziałów.
\(\displaystyle{ D:x \in \left\langle -2;5\right\rangle }\)
Dodano po 3 minutach 3 sekundach:
Przykład a)
Tutaj co do tego jeszcze, to zrozumiałem, że trzeba wyłączyć z dziedziny te liczby, które po podstawieniu dadzą w mianowniku \(\displaystyle{ 0}\).
I tutaj wystarczy, że jeden z nich jest podstawiony, wtedy całe wyrażenie nie ma sensu liczbowego, bo nie dzielimy przez zero.
Dodano po 9 minutach 45 sekundach:
i przykład c)
Z dziedziny wyrzucamy na pewno liczbę \(\displaystyle{ 1}\), bo gdy ją podstawimy, wtedy mianownik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) i nie będzie sensu liczbowego.
Poza tym, w liczniku obojętnie jaką liczbę podstawimy, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej zawsze da liczbę nieujemną. Liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, wtedy będzie miało to sens liczbowy, dlatego jeśli licznik ułamka jest liczbą nieujemną, dlatego też licznik też musi być liczbą nieujemną i wtedy to ma sens liczbowy.
Dlatego
\(\displaystyle{ D:x-1 \ge 0 \wedge x \neq 0 }\)
\(\displaystyle{ D:x \in \left( 1;+ \infty \right) }\)
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji
No to musisz zdecydować się, czy wyznaczasz dziedzinę, czy jej dopełnienie (czyli zbiór, dla którego elementów wyrażenie nie ma sensu liczbowego), bo to są przeciwne sytuacje.
Tak, wszystkie te warunki muszą być spełnione, zatem należy wziąć część wspólną.Damieux pisze: ↑5 lip 2022, o 09:39 Przykład b.
\(\displaystyle{ x \ge -2}\) \(\displaystyle{ \wedge }\)\(\displaystyle{ x \le 5}\)
Tutaj myślę, że jeśli jeden ze zbiorów podstawię do wzoru to będzie nadal sens liczbowy, bo wyrażenie jest dwuskładnikowe, dlatego wyłączę z dziedziny część wspólną tych dwóch przedziałów.
\(\displaystyle{ D:x \in \left\langle -2;5\right\rangle }\)
Do wzoru nie podstawiasz zbiorów, tylko co najwyżej elementy tych zbiorów, a części wspólnej nie wyłącza się, tylko wyznacza.
Tak, tutaj w naturalny sposób wygodniej wyznaczyć jest zbiór tych elementów, dla których wyrażenie nie ma sensu liczbowego (bo jest mniejszy) i wziąć jako dziedzinę jego dopełnienie.Damieux pisze: ↑5 lip 2022, o 09:39 Przykład a)
Tutaj co do tego jeszcze, to zrozumiałem, że trzeba wyłączyć z dziedziny te liczby, które po podstawieniu dadzą w mianowniku \(\displaystyle{ 0}\).
I tutaj wystarczy, że jeden z nich jest podstawiony, wtedy całe wyrażenie nie ma sensu liczbowego, bo nie dzielimy przez zero.
licznik --> mianownikDamieux pisze: ↑5 lip 2022, o 09:39 i przykład c)
Z dziedziny wyrzucamy na pewno liczbę \(\displaystyle{ 1}\), bo gdy ją podstawimy, wtedy mianownik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) i nie będzie sensu liczbowego.
Poza tym, w liczniku obojętnie jaką liczbę podstawimy, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej zawsze da liczbę nieujemną. Liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, wtedy będzie miało to sens liczbowy, dlatego jeśli licznik ułamka jest liczbą nieujemną, dlatego też licznik też musi być liczbą nieujemną i wtedy to ma sens liczbowy.
Dlatego
\(\displaystyle{ D:x-1 \ge 0 \wedge \red{x \neq 0} }\)
\(\displaystyle{ D:x \in \left( 1;+ \infty \right) }\)
\(\displaystyle{ \red{x \neq 0}}\) --> \(\displaystyle{ x\ne 1}\)
ale poza tym dobrze.
JK