Wyznaczanie dziedziny funkcji

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 3 lip 2022, o 22:33

Witam, chciałbym się dowiedzieć, jak właściwie wyznaczać dziedziny funkcji. Na przykładach podam, czego nie wiem:

a)
\(\displaystyle{ y= \frac{x+2}{ x^{2}-2x }- \frac{1}{x+3} }\)
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \wedge x+3 \neq 0}\) czy
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \vee x+3 \neq 0}\)

b)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x+2}+ \sqrt{5-x} }\)
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \wedge 5-x \ge 0}\) czy
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \vee 5-x \ge 0}\)

c)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{ x^{2} }{x-1} } }\)
\(\displaystyle{ D: \frac{ x^{2} }{x-1} \ge 0 \wedge x \neq 1}\)

Czy istnieje taka własność, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0 \wedge b \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee a<0 \wedge b<0}\) ?
Wtedy byśmy mieli:
\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0 \wedge x-1 \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee }\) \(\displaystyle{ x^{2}<0 \wedge x-1<0}\)
Tylko wtedy wyjdą dwa przedziałyz z uwzględnieniem \(\displaystyle{ x \neq 1}\)są to
\(\displaystyle{ x>1}\) i \(\displaystyle{ x<0}\)
I nie wiem, czy je połączyć jako sumę przedziałów, bo części wspólnej nie mają, byłby zbiór pusty?

Proszę o wyjaśnienie głębsze tego tematu, gdyż w podręczniku podają tylko, że wyznaczając dziedzinę liczba podpierwiastkowa jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) i w ułamku mianownik musi być \(\displaystyle{ \neq 0}\).
Natomiast nie wiem, jaka jest zasada łączenia przedziałów lub elementów, gdy ich jest więcej, i kiedy ma być część wspólna a kiedy suma przedziałów.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lip 2022, o 00:36

Damieux pisze:
3 lip 2022, o 22:33
a)
\(\displaystyle{ y= \frac{x+2}{ x^{2}-2x }- \frac{1}{x+3} }\)
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \wedge x+3 \neq 0}\) czy
\(\displaystyle{ D: x^{2}-2x \neq 0 \vee x+3 \neq 0}\)

b)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x+2}+ \sqrt{5-x} }\)
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \wedge 5-x \ge 0}\) czy
\(\displaystyle{ D:x+2 \ge 0 \vee 5-x \ge 0}\)
A czy rozumiesz różnicę pomiędzy znaczkami \(\displaystyle{ \land}\) i \(\displaystyle{ \lor}\)? I czy znasz ich znaczenie? Bo to wystarczy do odpowiedzi na Twoje pytanie - bez tego to będzie magia znaczków.
Damieux pisze:
3 lip 2022, o 22:33
c)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{ x^{2} }{x-1} } }\)
\(\displaystyle{ D: \frac{ x^{2} }{x-1} \ge 0 \wedge x \neq 1}\)

Czy istnieje taka własność, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0 \wedge b \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ \vee a<0 \wedge b<0}\) ?
Nie. Ale tu wystarczy pomyśleć: skoro licznik jest zawsze nieujemny, to co trzeba założyć o mianowniku, żeby ułamek był nieujemny?
Damieux pisze:
3 lip 2022, o 22:33
Proszę o wyjaśnienie głębsze tego tematu, gdyż w podręczniku podają tylko, że wyznaczając dziedzinę liczba podpierwiastkowa jest \(\displaystyle{ \ge 0}\) i w ułamku mianownik musi być \(\displaystyle{ \neq 0}\).
Natomiast nie wiem, jaka jest zasada łączenia przedziałów lub elementów, gdy ich jest więcej, i kiedy ma być część wspólna a kiedy suma przedziałów.
A spróbowałeś się nad tym zastanowić? Bo jak się zastanowisz i zrozumiesz, to będziesz wiedział, a jak nauczysz się "zasady", to poznasz tylko zaklęcie, którego znaczenia nie będziesz znać.

JK

Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 4 lip 2022, o 09:10

Znaczek \(\displaystyle{ \wedge }\) oznacza "i", jeśli mam dwa różne przedziały z tym znaczkiem między nimi, oznacza, że wspólną część wybieram oba przedziałów, tak to rozumiem.
Znaczek \(\displaystyle{ \vee }\) oznacza "lub", czyli mając dwa różne przedziały, będzie to suma jednego plus drugiego przedziału.
Nadal jednak nie wiem który mam wybrać przy powyższych przykładach.
Nie. Ale tu wystarczy pomyśleć: skoro licznik jest zawsze nieujemny
- skąd wiadomo, że licznik jest zawsze nieujemny, mogę mieć przecież taki ułamek \(\displaystyle{ \frac{-4}{-2 \sqrt{2} } }\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lip 2022, o 10:44

Damieux pisze:
4 lip 2022, o 09:10
Nadal jednak nie wiem który mam wybrać przy powyższych przykładach.
No to pomyśl, na czym polega określanie dziedziny: ustalasz warunki, które muszą zajść, żeby wyrażenie miało sens liczbowy. Jeżeli jest więcej niż jeden warunek, to czy muszą zajść wszystkie te warunki (pierwszy i drugi i... itd.), czy któryś z tych warunków (pierwszy lub drugi lub... itd.)?
Damieux pisze:
4 lip 2022, o 09:10
skąd wiadomo, że licznik jest zawsze nieujemny, mogę mieć przecież taki ułamek \(\displaystyle{ \frac{-4}{-2 \sqrt{2} } }\)
Nie możesz - na tym polega czytanie znaczków ze zrozumieniem. W liczniku masz \(\displaystyle{ x^2}\), a kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.

JK

Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 4 lip 2022, o 12:19

A więc
1) w przypadku równań, z dziedziny wyłączamy wszystkie pierwiastki (rozwiązania) jakie wyjdą i będą to pojedyncze elementy w jednym zbiorze,
dlatego użyjemy \(\displaystyle{ \wedge }\) - przykład a) \(\displaystyle{ D:\RR \setminus \left\{ -3,0,2\right\} }\)
2) w przypadku nierówności znajdujemy część wspólną wszystkich przedziałów, czy sumujemy przedziały...?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lip 2022, o 12:56

Damieux pisze:
4 lip 2022, o 12:19
1) w przypadku równań, z dziedziny wyłączamy wszystkie pierwiastki (rozwiązania) jakie wyjdą i będą to pojedyncze elementy w jednym zbiorze,
dlatego użyjemy \(\displaystyle{ \wedge }\) - przykład a) \(\displaystyle{ D:\RR \setminus \left\{ -3,0,2\right\} }\)
Tak.
Damieux pisze:
4 lip 2022, o 12:19
2) w przypadku nierówności znajdujemy część wspólną wszystkich przedziałów, czy sumujemy przedziały...?
A czym różni się ta sytuacja od poprzedniej?

JK

Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 4 lip 2022, o 20:15

A czym różni się ta sytuacja od poprzedniej?
Znakiem
W przypadku wyznaczania na przykład wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|=5 \Leftrightarrow x+2=5 \vee x+2=-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| >5 \Leftrightarrow x+2>5 \vee x+2<-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|<5 \Leftrightarrow x+2<5 \wedge x+2>-5 }\)
I stąd moje rozkminy w wyznaczaniu dziedziny..

Dodano po 2 minutach 39 sekundach:
I skoro są to nierówności to wychodzą nam zazwyczaj przedziały a nie pojedyncze elementy jak w równaniach

Dodano po 5 minutach 7 sekundach:
I znaczki zmieniają postać rzeczy, bo jakby mi w innym przykładzie wyszły na przykład dwa przedziały
1) \(\displaystyle{ (2;+ \infty )}\)
2)\(\displaystyle{ (- \infty ;4)}\)

to stosując sumę mamy R, a stosując iloczyn mamy \(\displaystyle{ (2;4)}\)
dlatego ma to znaczenie

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lip 2022, o 20:23

Damieux pisze:
4 lip 2022, o 20:15
A czym różni się ta sytuacja od poprzedniej?
Znakiem
Nieprawda, niczym się nie różni.
Damieux pisze:
4 lip 2022, o 20:15
W przypadku wyznaczania na przykład wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|=5 \Leftrightarrow x+2=5 \vee x+2=-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right| >5 \Leftrightarrow x+2>5 \vee x+2<-5 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|<5 \Leftrightarrow x+2<5 \wedge x+2>-5 }\)
I stąd moje rozkminy w wyznaczaniu dziedziny..
Ale to nie ma nic wspólnego z zadaniem! W związku z tym Twoje "rozkminy" także - to jest typowe uprawianie magii znaczków: wygląda podobnie, więc może robi się podobnie. Ale magia znaczków nie ma nic wspólnego z matematyką.
Damieux pisze:
4 lip 2022, o 20:23
I skoro są to nierówności to wychodzą nam zazwyczaj przedziały a nie pojedyncze elementy jak w równaniach
No i co z tego? Zawsze wychodzi jakiś zbiór.
Damieux pisze:
4 lip 2022, o 20:23
I znaczki zmieniają postać rzeczy, bo jakby mi w innym przykładzie wyszły na przykład dwa przedziały
1) \(\displaystyle{ (2;+ \infty )}\)
2)\(\displaystyle{ (- \infty ;4)}\)

to stosując sumę mamy R, a stosując iloczyn mamy \(\displaystyle{ (2;4)}\)
dlatego ma to znaczenie
Ale sytuacja w żaden sposób się nie zmieniła. Powtórzę zatem:
Jan Kraszewski pisze:
4 lip 2022, o 10:44
No to pomyśl, na czym polega określanie dziedziny: ustalasz warunki, które muszą zajść, żeby wyrażenie miało sens liczbowy. Jeżeli jest więcej niż jeden warunek, to czy muszą zajść wszystkie te warunki (pierwszy i drugi i... itd.), czy któryś z tych warunków (pierwszy lub drugi lub... itd.)?
JK

Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 4 lip 2022, o 20:26

A więc, wszędzie będzie to suma, w przypadku równań - pojedyncze elementy, w przypadku nierówności - suma przedziałów?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lip 2022, o 20:36

Damieux pisze:
4 lip 2022, o 20:26
A więc, wszędzie będzie to suma, w przypadku równań - pojedyncze elementy, w przypadku nierówności - suma przedziałów?
Nie. Zamiast postarać się zrozumieć wymyślasz zaklęcia. Powtórzę po raz trzeci:
Jan Kraszewski pisze:
4 lip 2022, o 10:44
No to pomyśl, na czym polega określanie dziedziny: ustalasz warunki, które muszą zajść, żeby wyrażenie miało sens liczbowy. Jeżeli jest więcej niż jeden warunek, to czy muszą zajść wszystkie te warunki (pierwszy i drugi i... itd.), czy któryś z tych warunków (pierwszy lub drugi lub... itd.)?
JK

Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 4 lip 2022, o 21:37

Wystarczy, że zajdzie jeden z tych warunków, aby nie było sensu liczbowego

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lip 2022, o 21:57

Ale Ciebie interesuje nie sytuacja, kiedy jest źle (wyrażenie nie ma sensu liczbowego), tylko kiedy jest dobrze - w końcu masz wyznaczyć dziedzinę, czyż nie?

JK

Damieux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 356
Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Damieux » 5 lip 2022, o 09:14

Chodziło mi o to, że znajdujemy wszystkie sytuacje, gdzie wyrażenie nie ma sensu liczbowego i wyłączamy to z dziedziny.

Dodano po 12 minutach 14 sekundach:
Przykład b.
\(\displaystyle{ x \ge -2}\) \(\displaystyle{ \wedge }\)\(\displaystyle{ x \le 5}\)
Tutaj myślę, że jeśli jeden ze zbiorów podstawię do wzoru to będzie nadal sens liczbowy, bo wyrażenie jest dwuskładnikowe, dlatego wyłączę z dziedziny część wspólną tych dwóch przedziałów.
\(\displaystyle{ D:x \in \left\langle -2;5\right\rangle }\)

Dodano po 3 minutach 3 sekundach:
Przykład a)
Tutaj co do tego jeszcze, to zrozumiałem, że trzeba wyłączyć z dziedziny te liczby, które po podstawieniu dadzą w mianowniku \(\displaystyle{ 0}\).
I tutaj wystarczy, że jeden z nich jest podstawiony, wtedy całe wyrażenie nie ma sensu liczbowego, bo nie dzielimy przez zero.

Dodano po 9 minutach 45 sekundach:
i przykład c)
Z dziedziny wyrzucamy na pewno liczbę \(\displaystyle{ 1}\), bo gdy ją podstawimy, wtedy mianownik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) i nie będzie sensu liczbowego.
Poza tym, w liczniku obojętnie jaką liczbę podstawimy, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej zawsze da liczbę nieujemną. Liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, wtedy będzie miało to sens liczbowy, dlatego jeśli licznik ułamka jest liczbą nieujemną, dlatego też licznik też musi być liczbą nieujemną i wtedy to ma sens liczbowy.
Dlatego
\(\displaystyle{ D:x-1 \ge 0 \wedge x \neq 0 }\)
\(\displaystyle{ D:x \in \left( 1;+ \infty \right) }\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 5 lip 2022, o 10:18

Damieux pisze:
5 lip 2022, o 09:39
Chodziło mi o to, że znajdujemy wszystkie sytuacje, gdzie wyrażenie nie ma sensu liczbowego i wyłączamy to z dziedziny.
No to musisz zdecydować się, czy wyznaczasz dziedzinę, czy jej dopełnienie (czyli zbiór, dla którego elementów wyrażenie nie ma sensu liczbowego), bo to są przeciwne sytuacje.
Damieux pisze:
5 lip 2022, o 09:39
Przykład b.
\(\displaystyle{ x \ge -2}\) \(\displaystyle{ \wedge }\)\(\displaystyle{ x \le 5}\)
Tutaj myślę, że jeśli jeden ze zbiorów podstawię do wzoru to będzie nadal sens liczbowy, bo wyrażenie jest dwuskładnikowe, dlatego wyłączę z dziedziny część wspólną tych dwóch przedziałów.
\(\displaystyle{ D:x \in \left\langle -2;5\right\rangle }\)
Tak, wszystkie te warunki muszą być spełnione, zatem należy wziąć część wspólną.

Do wzoru nie podstawiasz zbiorów, tylko co najwyżej elementy tych zbiorów, a części wspólnej nie wyłącza się, tylko wyznacza.
Damieux pisze:
5 lip 2022, o 09:39
Przykład a)
Tutaj co do tego jeszcze, to zrozumiałem, że trzeba wyłączyć z dziedziny te liczby, które po podstawieniu dadzą w mianowniku \(\displaystyle{ 0}\).
I tutaj wystarczy, że jeden z nich jest podstawiony, wtedy całe wyrażenie nie ma sensu liczbowego, bo nie dzielimy przez zero.
Tak, tutaj w naturalny sposób wygodniej wyznaczyć jest zbiór tych elementów, dla których wyrażenie nie ma sensu liczbowego (bo jest mniejszy) i wziąć jako dziedzinę jego dopełnienie.
Damieux pisze:
5 lip 2022, o 09:39
i przykład c)
Z dziedziny wyrzucamy na pewno liczbę \(\displaystyle{ 1}\), bo gdy ją podstawimy, wtedy mianownik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) i nie będzie sensu liczbowego.
Poza tym, w liczniku obojętnie jaką liczbę podstawimy, kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej zawsze da liczbę nieujemną. Liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, wtedy będzie miało to sens liczbowy, dlatego jeśli licznik ułamka jest liczbą nieujemną, dlatego też licznik też musi być liczbą nieujemną i wtedy to ma sens liczbowy.
Dlatego
\(\displaystyle{ D:x-1 \ge 0 \wedge \red{x \neq 0} }\)
\(\displaystyle{ D:x \in \left( 1;+ \infty \right) }\)
licznik --> mianownik
\(\displaystyle{ \red{x \neq 0}}\) --> \(\displaystyle{ x\ne 1}\)
ale poza tym dobrze.

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9834
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2231 razy

Re: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Post autor: Dasio11 » 5 lip 2022, o 14:21

W (c) w dziedzinie jest jeszcze \(\displaystyle{ x=0}\).

ODPOWIEDZ