Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: vpprof »

Na maturze 2021 pojawiło się zadanie (nr 14), w którym należało wykazać m.in., że pewna parabola nie ma punktów wspólnych z pewnym kołem. W tym celu należy udowodnić, że wielomian 4. stopnia \(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6}\) jest dodatni dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). W odpowiedziach proponują dwa sposoby:

Sposób 1
\(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6 = \left( x^2 - 2,1 \right)^2 + 0,2 x^2 - x + 1,59}\), przy czym wyrażenie w kwadracie jest zawsze nieujemne w \(\displaystyle{ \RR}\), zaś \(\displaystyle{ \Delta_{0,2 x^2 - x + 1,59} < 0}\), zatem to wyrażenie jest zawsze dodatnie.

Sposób 2
\(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6 = \left( x^2 - 2 \right)^2 - x + 2}\), przy czym dla \(\displaystyle{ -x+2 > 0}\) wielomian jest oczywiście dodatni, zaś
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-x+2 = 0 → \left( x^2 - 2 \right)^2 = 4 > 0 \\
-x+2 < 0 → \left( x^2 - 2 \right)^2 > 4 > 0
\end{cases} }\)


Pytanie
W jaki sposób wymyślić przekształcenie takie jak w sposobie 1, jak na to wpaść? Nie oczekuję odpowiedzi „ćwiczyć”, bo to wiadomo, ale nawet zakładając, że szukamy sumy dwóch nieujemnych składników — skąd na przykład wiedzieć, że wyrażenie w kwadracie ma mieć postać \(\displaystyle{ (x^2 + d)^2}\) a nie dajmy na to \(\displaystyle{ (x^2 + dx)^2}\)?

Poza tym jak utrafić w trójmian, który nie będzie miał rzeczywistych pierwiastków? Analizując \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) otrzymuję \(\displaystyle{ ac > \frac{1}{4} }\), następnie rozwinąwszy kwadrat sumy i porównawszy współczynniki przy potęgach x, mam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6=d^2+c \\ -4=a+2d \end{cases} }\)
z którego dostaję nierówność sześcienną \(\displaystyle{ 8d^3+16d^2-48d-97>0}\), której nie rozwiążę. Tym bardziej w krótkim czasie.

Sposób drugi wydaje się prostszy, ale też nie jestem przekonany czy bym na niego wpadł. Czy takie manipulacje algebraiczne mają jakąś nazwę, można ich gdzieś szukać w zbiorach zadań?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielom. 4. stopnia

Post autor: Jan Kraszewski »

To zadanie na maturze to była pomyłka (egzaminatorzy byli w tej kwestii dość zgodni), właśnie dlatego, że nie ma prostego sposobu udowodnienia, że ten wielomian jest dodatni. Prostego, czyli typowego - na maturze nie powinno się sprawdzać, czy wykazujesz się konkursową pomysłowością.

Tym bardziej, że widząc takie zadanie na maturze oczekujesz, że to da się zrobić jakoś prosto (to w końcu nierówność wielomianowa czwartego stopnia) i tracisz czas próbując znaleźć jakieś w miarę proste grupowanie bądź szacowanie. Ja robiąc sobie to zadanie w domu po kilku takich nieudanych próbach w końcu zdenerwowałem się, zastosowałem (w dość czasochłonny sposób) brute force i dostałem coś w stylu sposobu 1 (to koło było naprawdę blisko tej paraboli, więc przedział, z którego trzeba było wybrać odpowiednie współczynniki był naprawdę niewielki). Uważam, że sposób 1 w warunkach maturalnych przy niewielkiej ilości czasu jest praktycznie nierealizowalny.

Potem zobaczyłem w kluczu sposób 2, który jest elegancki i krótki, ale właśnie konkursowy - trzeba mieć specjalny pomysł, żeby na niego wpaść, więc znowu dla typowego niekonkursowego maturzysty jest w zasadzie (w warunkach maturalnych) nieosiągalny.

I dlatego to zadanie jest do bani (jako zadanie maturalne). Podejrzewam, że układający matury poniewczasie zorientowali się w tym problemie, co znalazło odzwierciedlenie w punktacji za to zadanie, która ewidentnie nie odpowiadała trudności czynności, które trzeba było wykonać.

JK
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: vpprof »

Dziękuję za wyczerpujący komentarz!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ }\)Sposób pierwszy wygląda jak królik wyciągnięty z kapelusza. Może spróbuję go trochę odczarować.

Napiszmy
\(\displaystyle{ x^4-4x^2-x+6=[x^2-(2+a)]^2+\blue{4ax^2-x+[6-(2+a)^2]}}\)
Pierwszy składnik prawej strony jest oczywiście nieujemny
Jeżeli znajdziemy dodatnie `a` dla którego wyróżnik niebieskiego wielomianu będzie ujemny, to udowodnimy tezę. Obliczmy ten wyróżnik
\(\displaystyle{ \blue\Delta=1-16a[6-(2+a)^2]}\) Będzie on ujemny na przykład wtedy, gdy `16a>1` i `6-(2+a)^2>1`
Czyli dla `a\in(1/16,\sqrt5-2)`. Magik wybrał `a=1/10`

Zadanie nie jest wcale takie straszne i sądzę, że do ogarnięcia dla zdających maturę w latach sześćdziesiątych
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: Jan Kraszewski »

a4karo pisze: 1 lut 2022, o 06:56Zadanie nie jest wcale takie straszne i sądzę, że do ogarnięcia dla zdających maturę w latach sześćdziesiątych
Ale wtedy miałeś chyba jednak więcej czasu...

JK
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: vpprof »

A poza tym to jest tylko jedna z części zadania i trudno powiedzieć ile dokładnie było na nią czasu, zależy jak kto się wyrobi z innymi zadaniami.

@a4karo, wychodzi mi coś innego:
a4karo pisze: 1 lut 2022, o 06:56 \(\displaystyle{ x^4-4x^2-x+6=[x^2-(2+a)]^2+\blue{4ax^2-x+[6-(2+a)^2]}}\)
\(\displaystyle{ (x^2-(2+a))^2+4ax^2-x+6-(2+a)^2 = x^4 + x^2 (2a-4)-x +6}\) a po podstawieniu \(\displaystyle{ a=1/10}\): \(\displaystyle{ x^4- \frac{19}{5} x^2 -x +6 }\). Nie mam czasu teraz głębiej się zastanowić, ale wydaje mi się, że gdzieś jakaś pomyłka nastąpiła. Dla \(\displaystyle{ -0,1}\) też nie działa.

Poza tym powstaje pytanie, czemu \(\displaystyle{ (x-(2+a))^2}\) zamiast \(\displaystyle{ (x+a)^2}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: a4karo »

a4karo pisze: 1 lut 2022, o 06:56 Poprawka

Napiszmy
\(\displaystyle{ x^4-4x^2-x+6=[x^2-(2+a)]^2+\blue{2ax^2-x+[6-(2+a)^2]}}\)
Pierwszy składnik prawej strony jest oczywiście nieujemny
Jeżeli znajdziemy dodatnie `a` dla którego wyróżnik niebieskiego wielomianu będzie ujemny, to udowodnimy tezę. Obliczmy ten wyróżnik
\(\displaystyle{ \blue\Delta=1-8a[6-(2+a)^2]}\) Będzie on ujemny na przykład wtedy, gdy `8a>1` i `6-(2+a)^2>1`
Czyli dla `a\in(1/8,\sqrt5-2)`.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: Dilectus »

W tym celu należy udowodnić, że wielomian 4. stopnia \(\displaystyle{ x^4−4x^2−x+6}\) jest dodatni dla \(\displaystyle{ x∈R}\)
Wystarczy wykazać, że minimum (lub minima, jeśli są dwa) są większe od zera. - Wiesz, pochodna, ekstrema itd.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: Tmkk »

Chętnie bym zobaczył jak wyznaczasz te ekstrema.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: a4karo »

Ja też :)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: a4karo »

Odgrzeję tego kotleta (wiem, że odgrzewa się biernik a nie dopełniacz, ale tak brzmi śmieszniej).

Dla `x\<2` mamy
`x^4-4x^2-x+6=(x^2-2)^2-x+2>0`
Dla `x\ge 2`
`x^4-4x^2-x+6=(x^2-3)^2+2x^2-x-3=(x^2-3)^2+(x+1)(x-3/2)>0`
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)

Post autor: vpprof »

a4karo pisze: 31 maja 2022, o 22:52 `(x^2-3)^2+2x^2-x-3=(x^2-3)^2+\color{red}{2}(x+1)(x-3/2)>0`
Trzeba dodać tę dwójkę.

Dobrym pomysłem byłoby stworzenie ogólnego algorytmu dowodzenia tego typu rzeczy i umieszczenie go w forumowym Kompendium. Tylko czy takowy w ogóle istnieje? Rozpisywanie wielomianu na sumę czynników zawierających kwadraty sum (zawsze nieujemne) oraz pewne sumy w pierwszej potędze, co do których wiadomo, że są zawsze dodatnie?

`W(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…=(x+b_1)(x+b_2)…+(x+c_1)(x+c_2)+…`
ODPOWIEDZ