Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
Na maturze 2021 pojawiło się zadanie (nr 14), w którym należało wykazać m.in., że pewna parabola nie ma punktów wspólnych z pewnym kołem. W tym celu należy udowodnić, że wielomian 4. stopnia \(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6}\) jest dodatni dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). W odpowiedziach proponują dwa sposoby:
Sposób 1
\(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6 = \left( x^2 - 2,1 \right)^2 + 0,2 x^2 - x + 1,59}\), przy czym wyrażenie w kwadracie jest zawsze nieujemne w \(\displaystyle{ \RR}\), zaś \(\displaystyle{ \Delta_{0,2 x^2 - x + 1,59} < 0}\), zatem to wyrażenie jest zawsze dodatnie.
Sposób 2
\(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6 = \left( x^2 - 2 \right)^2 - x + 2}\), przy czym dla \(\displaystyle{ -x+2 > 0}\) wielomian jest oczywiście dodatni, zaś
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-x+2 = 0 → \left( x^2 - 2 \right)^2 = 4 > 0 \\
-x+2 < 0 → \left( x^2 - 2 \right)^2 > 4 > 0
\end{cases} }\)
Pytanie
W jaki sposób wymyślić przekształcenie takie jak w sposobie 1, jak na to wpaść? Nie oczekuję odpowiedzi „ćwiczyć”, bo to wiadomo, ale nawet zakładając, że szukamy sumy dwóch nieujemnych składników — skąd na przykład wiedzieć, że wyrażenie w kwadracie ma mieć postać \(\displaystyle{ (x^2 + d)^2}\) a nie dajmy na to \(\displaystyle{ (x^2 + dx)^2}\)?
Poza tym jak utrafić w trójmian, który nie będzie miał rzeczywistych pierwiastków? Analizując \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) otrzymuję \(\displaystyle{ ac > \frac{1}{4} }\), następnie rozwinąwszy kwadrat sumy i porównawszy współczynniki przy potęgach x, mam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6=d^2+c \\ -4=a+2d \end{cases} }\)
z którego dostaję nierówność sześcienną \(\displaystyle{ 8d^3+16d^2-48d-97>0}\), której nie rozwiążę. Tym bardziej w krótkim czasie.
Sposób drugi wydaje się prostszy, ale też nie jestem przekonany czy bym na niego wpadł. Czy takie manipulacje algebraiczne mają jakąś nazwę, można ich gdzieś szukać w zbiorach zadań?
Sposób 1
\(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6 = \left( x^2 - 2,1 \right)^2 + 0,2 x^2 - x + 1,59}\), przy czym wyrażenie w kwadracie jest zawsze nieujemne w \(\displaystyle{ \RR}\), zaś \(\displaystyle{ \Delta_{0,2 x^2 - x + 1,59} < 0}\), zatem to wyrażenie jest zawsze dodatnie.
Sposób 2
\(\displaystyle{ x^4 - 4x^2 -x + 6 = \left( x^2 - 2 \right)^2 - x + 2}\), przy czym dla \(\displaystyle{ -x+2 > 0}\) wielomian jest oczywiście dodatni, zaś
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-x+2 = 0 → \left( x^2 - 2 \right)^2 = 4 > 0 \\
-x+2 < 0 → \left( x^2 - 2 \right)^2 > 4 > 0
\end{cases} }\)
Pytanie
W jaki sposób wymyślić przekształcenie takie jak w sposobie 1, jak na to wpaść? Nie oczekuję odpowiedzi „ćwiczyć”, bo to wiadomo, ale nawet zakładając, że szukamy sumy dwóch nieujemnych składników — skąd na przykład wiedzieć, że wyrażenie w kwadracie ma mieć postać \(\displaystyle{ (x^2 + d)^2}\) a nie dajmy na to \(\displaystyle{ (x^2 + dx)^2}\)?
Poza tym jak utrafić w trójmian, który nie będzie miał rzeczywistych pierwiastków? Analizując \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) otrzymuję \(\displaystyle{ ac > \frac{1}{4} }\), następnie rozwinąwszy kwadrat sumy i porównawszy współczynniki przy potęgach x, mam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6=d^2+c \\ -4=a+2d \end{cases} }\)
z którego dostaję nierówność sześcienną \(\displaystyle{ 8d^3+16d^2-48d-97>0}\), której nie rozwiążę. Tym bardziej w krótkim czasie.
Sposób drugi wydaje się prostszy, ale też nie jestem przekonany czy bym na niego wpadł. Czy takie manipulacje algebraiczne mają jakąś nazwę, można ich gdzieś szukać w zbiorach zadań?
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielom. 4. stopnia
To zadanie na maturze to była pomyłka (egzaminatorzy byli w tej kwestii dość zgodni), właśnie dlatego, że nie ma prostego sposobu udowodnienia, że ten wielomian jest dodatni. Prostego, czyli typowego - na maturze nie powinno się sprawdzać, czy wykazujesz się konkursową pomysłowością.
Tym bardziej, że widząc takie zadanie na maturze oczekujesz, że to da się zrobić jakoś prosto (to w końcu nierówność wielomianowa czwartego stopnia) i tracisz czas próbując znaleźć jakieś w miarę proste grupowanie bądź szacowanie. Ja robiąc sobie to zadanie w domu po kilku takich nieudanych próbach w końcu zdenerwowałem się, zastosowałem (w dość czasochłonny sposób) brute force i dostałem coś w stylu sposobu 1 (to koło było naprawdę blisko tej paraboli, więc przedział, z którego trzeba było wybrać odpowiednie współczynniki był naprawdę niewielki). Uważam, że sposób 1 w warunkach maturalnych przy niewielkiej ilości czasu jest praktycznie nierealizowalny.
Potem zobaczyłem w kluczu sposób 2, który jest elegancki i krótki, ale właśnie konkursowy - trzeba mieć specjalny pomysł, żeby na niego wpaść, więc znowu dla typowego niekonkursowego maturzysty jest w zasadzie (w warunkach maturalnych) nieosiągalny.
I dlatego to zadanie jest do bani (jako zadanie maturalne). Podejrzewam, że układający matury poniewczasie zorientowali się w tym problemie, co znalazło odzwierciedlenie w punktacji za to zadanie, która ewidentnie nie odpowiadała trudności czynności, które trzeba było wykonać.
JK
Tym bardziej, że widząc takie zadanie na maturze oczekujesz, że to da się zrobić jakoś prosto (to w końcu nierówność wielomianowa czwartego stopnia) i tracisz czas próbując znaleźć jakieś w miarę proste grupowanie bądź szacowanie. Ja robiąc sobie to zadanie w domu po kilku takich nieudanych próbach w końcu zdenerwowałem się, zastosowałem (w dość czasochłonny sposób) brute force i dostałem coś w stylu sposobu 1 (to koło było naprawdę blisko tej paraboli, więc przedział, z którego trzeba było wybrać odpowiednie współczynniki był naprawdę niewielki). Uważam, że sposób 1 w warunkach maturalnych przy niewielkiej ilości czasu jest praktycznie nierealizowalny.
Potem zobaczyłem w kluczu sposób 2, który jest elegancki i krótki, ale właśnie konkursowy - trzeba mieć specjalny pomysł, żeby na niego wpaść, więc znowu dla typowego niekonkursowego maturzysty jest w zasadzie (w warunkach maturalnych) nieosiągalny.
I dlatego to zadanie jest do bani (jako zadanie maturalne). Podejrzewam, że układający matury poniewczasie zorientowali się w tym problemie, co znalazło odzwierciedlenie w punktacji za to zadanie, która ewidentnie nie odpowiadała trudności czynności, które trzeba było wykonać.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
\(\displaystyle{ }\)Sposób pierwszy wygląda jak królik wyciągnięty z kapelusza. Może spróbuję go trochę odczarować.
Napiszmy
\(\displaystyle{ x^4-4x^2-x+6=[x^2-(2+a)]^2+\blue{4ax^2-x+[6-(2+a)^2]}}\)
Pierwszy składnik prawej strony jest oczywiście nieujemny
Jeżeli znajdziemy dodatnie `a` dla którego wyróżnik niebieskiego wielomianu będzie ujemny, to udowodnimy tezę. Obliczmy ten wyróżnik
\(\displaystyle{ \blue\Delta=1-16a[6-(2+a)^2]}\) Będzie on ujemny na przykład wtedy, gdy `16a>1` i `6-(2+a)^2>1`
Czyli dla `a\in(1/16,\sqrt5-2)`. Magik wybrał `a=1/10`
Zadanie nie jest wcale takie straszne i sądzę, że do ogarnięcia dla zdających maturę w latach sześćdziesiątych
Napiszmy
\(\displaystyle{ x^4-4x^2-x+6=[x^2-(2+a)]^2+\blue{4ax^2-x+[6-(2+a)^2]}}\)
Pierwszy składnik prawej strony jest oczywiście nieujemny
Jeżeli znajdziemy dodatnie `a` dla którego wyróżnik niebieskiego wielomianu będzie ujemny, to udowodnimy tezę. Obliczmy ten wyróżnik
\(\displaystyle{ \blue\Delta=1-16a[6-(2+a)^2]}\) Będzie on ujemny na przykład wtedy, gdy `16a>1` i `6-(2+a)^2>1`
Czyli dla `a\in(1/16,\sqrt5-2)`. Magik wybrał `a=1/10`
Zadanie nie jest wcale takie straszne i sądzę, że do ogarnięcia dla zdających maturę w latach sześćdziesiątych
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
Ale wtedy miałeś chyba jednak więcej czasu...
JK
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
A poza tym to jest tylko jedna z części zadania i trudno powiedzieć ile dokładnie było na nią czasu, zależy jak kto się wyrobi z innymi zadaniami.
@a4karo, wychodzi mi coś innego:
Poza tym powstaje pytanie, czemu \(\displaystyle{ (x-(2+a))^2}\) zamiast \(\displaystyle{ (x+a)^2}\)…
@a4karo, wychodzi mi coś innego:
\(\displaystyle{ (x^2-(2+a))^2+4ax^2-x+6-(2+a)^2 = x^4 + x^2 (2a-4)-x +6}\) a po podstawieniu \(\displaystyle{ a=1/10}\): \(\displaystyle{ x^4- \frac{19}{5} x^2 -x +6 }\). Nie mam czasu teraz głębiej się zastanowić, ale wydaje mi się, że gdzieś jakaś pomyłka nastąpiła. Dla \(\displaystyle{ -0,1}\) też nie działa.
Poza tym powstaje pytanie, czemu \(\displaystyle{ (x-(2+a))^2}\) zamiast \(\displaystyle{ (x+a)^2}\)…
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
a4karo pisze: ↑1 lut 2022, o 06:56 Poprawka
Napiszmy
\(\displaystyle{ x^4-4x^2-x+6=[x^2-(2+a)]^2+\blue{2ax^2-x+[6-(2+a)^2]}}\)
Pierwszy składnik prawej strony jest oczywiście nieujemny
Jeżeli znajdziemy dodatnie `a` dla którego wyróżnik niebieskiego wielomianu będzie ujemny, to udowodnimy tezę. Obliczmy ten wyróżnik
\(\displaystyle{ \blue\Delta=1-8a[6-(2+a)^2]}\) Będzie on ujemny na przykład wtedy, gdy `8a>1` i `6-(2+a)^2>1`
Czyli dla `a\in(1/8,\sqrt5-2)`.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
Wystarczy wykazać, że minimum (lub minima, jeśli są dwa) są większe od zera. - Wiesz, pochodna, ekstrema itd.W tym celu należy udowodnić, że wielomian 4. stopnia \(\displaystyle{ x^4−4x^2−x+6}\) jest dodatni dla \(\displaystyle{ x∈R}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
Odgrzeję tego kotleta (wiem, że odgrzewa się biernik a nie dopełniacz, ale tak brzmi śmieszniej).
Dla `x\<2` mamy
`x^4-4x^2-x+6=(x^2-2)^2-x+2>0`
Dla `x\ge 2`
`x^4-4x^2-x+6=(x^2-3)^2+2x^2-x-3=(x^2-3)^2+(x+1)(x-3/2)>0`
Dla `x\<2` mamy
`x^4-4x^2-x+6=(x^2-2)^2-x+2>0`
Dla `x\ge 2`
`x^4-4x^2-x+6=(x^2-3)^2+2x^2-x-3=(x^2-3)^2+(x+1)(x-3/2)>0`
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Uzasadnienie dodatniości wielomianu 4. stopnia (matura 2021)
Trzeba dodać tę dwójkę.
Dobrym pomysłem byłoby stworzenie ogólnego algorytmu dowodzenia tego typu rzeczy i umieszczenie go w forumowym Kompendium. Tylko czy takowy w ogóle istnieje? Rozpisywanie wielomianu na sumę czynników zawierających kwadraty sum (zawsze nieujemne) oraz pewne sumy w pierwszej potędze, co do których wiadomo, że są zawsze dodatnie?
`W(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…=(x+b_1)(x+b_2)…+(x+c_1)(x+c_2)+…`